§ 106. Преобразования случайных функций, приводимые к линейным

Теория линейных преобразований случайных функций применима не только к линейным системам, но и к некоторым классам нелинейных систем. К таким нелинейным преобразованиям случайных функций, которые приводятся к линейным, относятся все преобразования вида

где произвольные линейные операторы, действующие над функциями переменных произвольные функции переменных, действительная случайная функция. Действительно, преобразование (106.1), в общем случае нелинейное по отношению к случайной функции является линейным по отношению к векторной случайной функции переменных составляющие которой определяются формулой

так как при помощи формулы (106.2) преобразование (106.1) приводится к общему виду линейного преобразования векторной случайной функции (89.1):

На основании общих формул (89.2), (89.4) и (89.5) математическое ожидание, корреляционная функция и момент второго порядка случайной функции определяются формулами

Представив векторную случайную функцию каким-либо ее каноническим разложением

получим соответствующее каноническое разложение случайной функции К:

координатные функции которого, согласно (89.7), определятся формулой

Совершенно так же, выразив векторную случайную функцию интегральным каноническим представлением

получим, согласно общей теории § 89, соответствующее интегральное каноническое представление случайной функции

координатные функции которого в соответствии с общей формулой (89.10) определятся формулой

Таким образом, для определения математического ожидания и корреляционной функции случайной функции У остается выразить математическое ожидание и корреляционную функцию векторной случайной функции через вероятностные характеристики случайной функции В общем случае, когда функции нелинейные, знания математического ожидания и корреляционной функции случайной функции X недостаточно для определения математического ожидания и корреляционной функции векторной случайной функции Для определения математического ожидания векторной случайной функции необходимо задать -мерный закон распределения случайной функции А именно, согласно общей формуле (30.4), математическое ожидание векторной случайной функции выразится через -мерную плотность вероятности случайной функции X формулой

Для определения момента второго порядка и корреляционной функции векторной случайной функции необходимо задать -мерный закон распределения случайной функции Пользуясь той же формулой (30.4), выразим момент второго порядка векторной случайной функции через -мерную плотность вероятности случайной функции X:

Корреляционная функция векторной случайной функции на основании соотношения (69.14) определится формулой

Изложенное показывает, что для нахождения математического ожидания и корреляционной функции случайной функции У, определяемой в результате нелинейного преобразования (106.1) случайной функции X, необходимо и достаточно знать -мерную плотность вероятности случайной функции Тогда, определив по формулам (106.13), (106.14) и (106.15) математическое ожидание, момент второго порядка и корреляционную функцию векторной случайной функции составляющие которой определяются формулой (106.2), можно применить теорию линейных преобразований случайных функций для нахождения математического ожидания, момента второго порядка и корреляционной функции случайной функции К.

На основании замечания, сделанного в §§ 88 и 89, формулы, аналогичные (106.6), связывают и моменты высших порядков случайных функций При этом моменты случайной функции выражаются через соответствующие плотности вероятности случайной функции X формулами типа (106.14). Таким образом, теория линейных преобразований случайных функций дает возможность определить моменты случайной функции К, определяемой, формулой (106.1), до любого порядка, если известны соответствующие плотности вероятности случайной функции

Нелинейные операторы вида (106.1) образуют весьма широкий класс операторов, который определяется всеми возможными значениями целых положительных чисел и всеми возможными системами функций и всеми возможными системами линейных операторов Характерной особенностью нелинейных преобразований случайных функций типа (106.1) является то обстоятельство, что преобразование (106.1) состоит из двух последовательно выполняемых преобразований: нелинейного преобразования значений случайной функции X, в котором значения независимой переменной являются по существу параметрами и которое представляет собой, таким образом, преобразование обычных случайных величин, и линейного преобразования векторной случайной функции, полученной в результате первого преобразования. Возможность применения теории линейных преобразований случайных функций к нелинейным преобразованиям типа (106.1) определяется именно тем, что нелинейным в преобразовании (106.1) является только первое преобразование, представляющее собой нелинейное преобразование обычных случайных величин, к которому применима обычная теория функциональных зависимостей между случайными величинами, изложенная в главе 5.

Если операторы являются линейными интегральными операторами:

то преобразование (106.1) принимает вид:

Формулы (106.4), (106.5) и (106.6) принимают вид:

Формула (106.9) для координатных функций принимает вид:

Аналогичный вид будет иметь формула (106.12) для координатных функций интегрального канонического представления случайной функции У.

В приложениях часто встречаются преобразования случайных функций вида (106.1), в которых функции представляют собой произведения значений случайной функции при различных значениях аргумента В этом случае и

В этом случае математическое ожидание и момент второго порядка векторной случайной функции представляют собой совокупность моментов случайной функции X до порядка включительно:

Случайная функция X в (106.1) может быть векторной. Если она представляет собой -мерный вектор, то и все переменные х в (106.13) и (106.14) являются -мерными векторами. Для определения математического ожидания и момента второго порядка векторной случайной функции в этом случае необходимо знать совместную плотность вероятности значений всех составляющих векторной случайной функции X при произвольно и независимо друг от друга выбранных значениях аргумента

Случайная функция в (106.1) также может быть векторной. В этом случае преобразование (106.1) при помощи формулы (106.2) приводится к виду (89.1):

Определив по формулам (106.13), (106.14) и (106.15) математическое ожидание, момент второго порядка и корреляционную функцию векторной случайной функции найдем математическое ожидание, корреляционную функцию и момент второго порядка векторной случайной функции по формулам § 89.

Нелинейные преобразования случайных функций типа (106.1) и соответствующие им нелинейные операторы мы будем называть приводимыми к линейным. Числа в (106.1) могут иметь произвольные целые положительные значения, включая Класс нелинейных преобразований случайных функций, приводимых к линейным, очень широк. В частности, он включает все преобразования случайных функций, определяемые нелинейными дифференциальными уравнениями вида (101.1) и (101.10), при условии, что представляют собой случайные функции одной независимой переменной и их дисперсии достаточно малы.

Функции в (106.1) могут явно зависеть также от переменных В этом случае преобразование (106.1) может быть написано в виде:

Для этого случая справедливы все предыдущие формулы. Только математическое ожидание векторной случайной функции будет

зависеть еще от а ее момент второго порядка и корреляционная функция — от Соответственно изменится запись формул (106.13) и (106.14).

Легко видеть, что преобразование случайной функции X случайным линейным оператором, рассмотренное в § 98, представляет собой преобразование вида (106.26) векторной случайной функции, составляющими которой являются или

Пример 1. Найти оператор системы, представляющей собой последовательное соединение двух систем. Первая является линейной системой с весовой функцией Вторая представляет собой параллельное соединение линейной системы с весовой функцией и цепочки, состоящей из последовательно соединенных квадратора (устройства для возведения в квадрат) и линейной системы с весовой функцией (рис. 60).

Рис. 60.

Выходная переменная первой системы связана со входным возмущением формулой

Переменная идет далее на вход второй линейной системы и параллельно на вход квадратора. Переменная на выходе второй линейной системы связана с переменной формулой

а переменная на выходе квадратора равна:

С выхода квадратора величина идет на вход третьей линейной системы, выходная переменная которой связана с величиной формулой

Наконец, выходная переменная всей рассматриваемой системы получается в результате суммирования выходных переменных второй и третьей линейных систем:

Исключая из уравнений (106.27)-(106.31) промежуточные переменные , получим зависимость между входной и выходной переменными рассматриваемой нелинейной системы:

где

Функции и могут быть названы весовыми функциями первого и второго порядка рассматриваемой нелинейной системы. Очевидно что оператор рассматриваемой нелинейной системы относится к классу операторов, приводимых к линейным. Весовые функции веса первого и второго порядка и являются полной характеристикой данной нелинейной системы.

Если в эту систему ввести дополнительно цепь обратной связи, охватывающей квадратор и третью линейную систему (рис. 61), то полученную нелинейную систему уже нельзя будет охарактеризовать двумя или вообще конечным числом весовых функций.

Рис. 61.

Зависимость выходной переменной этой системы от входного возмущения выражается формулой

где весовые функции первого, второго и более высоких порядков, которые выражаются через весовые функции линейных систем, входящих в состав рассматриваемой нелинейной системы формулами типа (106.33). Мы предоставляем читателю самостоятельно вывести эти формулы. Таким образом, одномерная нелинейная система с квадратором, охваченным

обратной связью, может быть охарактеризована только бесконечной последовательностью весовых функций всех возможных положительных порядков. Очевидно, что оператор этой системы, определяемый формулой (106.34), также относится к классу приводимых к линейным.

Пример 2. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции

предполагая, что случайная функция действительна, распределена нормально и имеет равное нулю математическое ожидание.

Преобразование случайной функции, определяемое формулой (106.35), линейно по отношению к случайной функции

Поэтому, пользуясь формулами теории линейных преобразований случайных функций (88.3) и (88.6), выразим математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции У через математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции

Для полного решения задачи остается найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции Математическое ожидание случайной функции очевидно, равно корреляционной функции случайной функции X:

Рис. 62.

Момент второго порядка случайной функции представляет собой центральный момент четвертого порядка случайной функции Так как случайная функция X распределена нормально, то ее центральный момент четвертого порядка может быть выражен через ее корреляционную функцию. Для этого достаточно воспользоваться формулой (29.8). Тогда получим следующую формулу для момента второго порядка случайной функции

Корреляционная функция случайной функции на основании соотношения (50.7) выразится формулой

К системам рассмотренного типа, имеющим оператор вида (106.35), относится, в частности, система, состоящая из последовательно соединенных линейной системы, квадратора и другой линейной системы (рис. 62). Действительно, обозначая весовые функции линейных систем через и

применяя формулу (83.7), получим следующую зависимость между входной и выходной переменными рассматриваемой системы:

где

Очевидно, что формула (106.42) является частным случаем формулы (106.35).

Пример 3. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции

предполагая, что случайная функция X стационарна, действительна, имеет равное нулю математическое ожидание и распределена нормально.

Так как преобразование случайной функции X, определяемое формулой (106.44), линейно относительно случайной функции

то математическое ожидание и корреляционная функция случайной функции У на основании теории линейных преобразований случайных функций выразятся формулами (106.37) и (106.38). Остается найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции определяемой формулой (106.45). Имеем:

где значение двумерной характеристической функции случайной функции X при Но, согласно формуле (28.17), двумерная характеристическая функция нормально распределенной случайной функции X выражается через ее корреляционную функцию формулой

Очевидно, что действительна при любых действительных значениях Следовательно, математическое ожидание случайной функции равно нулю и ее корреляционная функция определится формулой

Но

и аналогично

где четырехмерная характеристическая функция случайной функции X, которая на основании общей формулы (28.17) равна:

Пользуясь формулами (106.48), (106.49), (106.50) и (106.51), находим после элементарных преобразований корреляционную функцию случайной функции

Пример 4. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию выходной переменной нелинейной системы, состоящей из линейной системы, охваченной отрицательной обратной связью через безынерционный элемент с кубической характеристикой (рис. 63), если входное случайное возмущение представляет собой нормально распределенную случайную функцию времени математическое ожидание которой равно нулю.

Рис. 63.

Поведение рассматриваемой нелинейной системы описывается дифференциальным уравнением вида:

где полином относительно оператора дифференцирования, коэффициенты которого могут быть функциями независимой переменной Вычисление произведем с учетом моментов случайной функции X до четвертого порядка включительно.

Чтобы получить явное выражение интеграла системы дифференциальных уравнений через входящие в эти уравнения случайные функции, можно применить следующий общий прием: заменить все случайные функции имеющие известные вероятностные характеристики, функциями где а — произвольный параметр, и искать решение полученных уравнений в виде степенных рядов относительно а. Положив после этого получим интеграл рассматриваемой системы дифференциальных уравнений в форме

бесконечного ряда:

Этот ряд при достаточно общих условиях будет представлять интеграл рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, если дисперсии входящих в них случайных функций достаточно малы. Преобразование случайных функций, определяемое формулой (106.54), относится к рассмотренному классу преобразований, приводимых к линейным, типа (106.17). Поэтому для исследования точности систем, описываемых дифференциальными уравнениями, можно применить изложенный в этом параграфе метод.

Применяя изложенный прием к уравнению (106.53), заменим его более общим уравнением

и будем искать решение этого уравнения в виде разложения по степеням

Для определения коэффициентов ряда (106.56) дифференцируем уравнение (106.55) сполна по а:

Полагая в уравнении и принимая во внимание, что при этом получим уравнение для определения

Ограничиваясь интегралом уравнения (106.53), удовлетворяющим нулевым начальным условиям, получим соответствующий интеграл уравнения (106.58) в виде:

Полагая в уравнениях и принимая во внимание (106.59), получим уравнения для определения коэффициентов

Интеграл уравнения (106.60) на основании изложенного в § 84 выражается формулой

где весовая функция линейной системы. Точно так же интеграл уравнения (106.62) выражается формулой

Интегралы уравнений (106.61) и (106.63), удовлетворяющие нулевым начальным условиям, тождественно равны нулю. Для того чтобы выразить через случайную функцию X, подставим в формулу (106.65) выражение из (106.64). Тогда получим:

и

где

Подставляя выражения (106.64) и (106.67) коэффициентов в формулу (106.56) и полагая получим приближенное решение уравнения (106.53):

Так как случайная функция X распределена нормально и ее математическое ожидание равно нулю, то все ее моменты нечетного порядка равны нулю. Следовательно, математическое ожидание случайной функции У тождественно равно нулю, а ее корреляционная функция совпадает с ее начальным моментом второго порядка. Пользуясь формулами (106.19), (106.15) (106.23), (106.24) и (29.8), получим разложение корреляционной функции случайной функции У по моментам случайной функции Ограничиваясь в этом разложении моментами не выше четвертого порядка, получим для

корреляционной функции случайной функции У приближенную формулу