§ 134. Определение оптимальной одномерной линейной системы методом канонических разложений

Как уже было сказано в § 127, уравнение (124.4), к которому приводится задача определения оптимального линейного оператора, может быть в общем случае решено методом канонических разложений. Применим сначала метод канонических разложений к решению интегрального уравнения (125.2).

Представим случайную функцию X каким-либо каноническим разложением в области наблюдения Т:

На основании общей теории § 60 координатные функции определяются формулой

где — функции, удовлетворяющие совместно с функциями условию биортогональности:

Разложение (134.1) формально отличается от интегрального канонического представления (133.1) только тем, что вместо непрерывно изменяющегося параметра X в разложении (134.1) фигурирует индекс Поэтому для отыскания формы решения уравнения (125.2) достаточно заменить в формуле (133.3) интегрирование по параметру X суммированием по индексу Таким путем мы приходим к заключению, что решение уравнения (125.2) следует искать в виде ряда

где — неизвестные функции, которые следует определить так, чтобы ряд (134.4) формально удовлетворял уравнению (125.2). На основании формул (134.4) и (134.2) можем формально написать:

Подставляя это выражение в уравнение (125.2), приведем его к виду:

Таким образом, для того чтобы выражение (134.4) удовлетворяло уравнению (125.2), необходимо, чтобы функция рассматриваемая как функция была представима в области разложением по координатным функциям Но это условие необходимо и для существования решения уравнения (125.2), обладающего необходимыми свойствами. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно подставить в уравнение (125.2) каноническое разложение (56.2) корреляционной функции и выполнить почленное интегрирование ряда. Если функция представима разложением (134.6), то для определения коэффициентов достаточно умножить равенство (134.6)

на и проинтегрировать по по области Тогда получим:

или, принимая во внимание (134.3),

Отсюда находим:

Подставляя это выражение в формулу (134.4), получим решение уравнения (125.2):

Очевидно, что формула (134.9) выражает коэффициенты разложения (134.6) во всех случаях, когда функция представима этим разложением. Но выше было показано, что функция всегда представима разложением (134.6), если уравнение (125.2) имеет решение. Таким образом, формула (134.10) всегда дает решение уравнения (125.2), если это уравнение имеет решение.

В следующем параграфе мы докажем, что взаимная корреляционная функция всегда представима разложением (134.6). Вводя обозначение

перепишем формулу (134.10) для решения уравнения (125.2) при в виде:

Если все функции представимы разложением вида (134.6), то формула (134.10) при дает решения соответствующих интегральных уравнений вида (125.2):

где

Подставляя выражения (134.12) и (134.13) в (125.4) и принимая во внимание (124.7), (134.11) и (134.14), находим величины

Эти формулы могут быть использованы при определении оптимальной линейной системы методом канонических разложений. Определив весовые функции по формулам (134.12) и (134.13), вычислив величины по формулам (134.15), (134.16) и (134.17) и решив систему линейных алгебраических уравнений (124.10) или (124.14), мы найдем весовую функцию оптимального линейного интегрального оператора по формуле (125.3).

В частном случае, когда аргументы и 5 представляют собой различные моменты времени, а область наблюдения есть интервал -изложенный метод дает оптимальную одномерную линейную систему.

Для того чтобы найденное формальное решение интегрального уравнения (125.2) действительно было решением и определяло оптимальную линейную систему, необходимо убедиться в том, что формулы (134.12) и (134.13) имеют смысл и что почленное интегрирование ряда в формуле (134.5) законно. Для этого, как известно, необходимо, чтобы ряды (134.12) и (134.13) сходились равномерно относительно в области или, по крайней мере, в среднем в области Вопрос о сходимости этих рядов очень сложен. Решение его в общем виде равноценно решению в общем виде линейного интегрального уравнения первого рода. Однако в нашем случае вопрос о сходимости рядов (134.12) и (134.13), к счастью, оказывается совершенно безразличным. Конечными отрезками рядов (134.12) и (134.13) можно практически пользоваться для определения весовой функции оптимальной линейной системы независимо от того, сходятся эти ряды или расходятся. Это объясняется тем, что при весьма общих условиях линейные интегральные операторы, соответствующие весовым функциям, определяемым формулами (134.12) и (134.13), всегда имеют смысл в применении к наблюдаемой случайной функции Это будет доказано в следующем параграфе для любых линейных операторов, определяемых уравнениями вида (124.4). В применении к линейным интегральным операторам положение, которое мы докажем

в следующем параграфе, формулируется следующим образом: ряды

сходятся в среднем квадратическом, если сходятся ряды (134.17), определяющие величины и дисперсия случайной функций У конечна. При этих условиях сходятся также и все ряды (134.15), (134.16) и (134.17). На основании этого предложения можно пользоваться конечными отрезками рядов (134.18) независимо от того, сходятся ряды (134.12) и (134.13) или нет. Отсюда следует, что весовую функцию оптимального линейного интегрального оператора практически всегда можно приближенно определить, пользуясь конечными отрезками рядов (134.12) и (134.13).

Пример 1. Решить пример § 127 методом канонических разложений. Для решения задачи воспользуемся каноническим разложением белого шума полученным в примере 1 § 60. Для этого канонического разложения

Так как в данном случае то и все функции определяемые формулой (134.11), равны нулю. Величины определяемые формулой (134.14), в данном случае равны:

Вследствие того, что все величины а, кроме оказались равными нулю, в рядах (134.17), определяющих величины все члены, кроме одного, равны нулю и, следовательно,

Далее, на основании (134.21), находим:

Пользуясь известной формулой ([74], т. II, гл. VI, § 1)

можно просуммировать ряд в формуле (134.23). В результате получим:

Формулы (134.13), (134.20) и (134.21) дают следующие выражения для весовых функций и

где штрих у суммы указывает, что слагаемое, соответствующее значению индекса суммирования не входит в сумму. Для того чтобы получить весовую функцию в действительной форме, сгруппируем во второй формуле (134.26) отдельно слагаемые, соответствующие положительным значениям индекса суммирования, и слагаемые, соответствующие отрицательным значениям индекса суммирования. Тогда получим:

или.

Пользуясь далее известной формулой ([74], т. II, гл. VI, § 1):

можем просуммировать ряд Фурье в формуле (134.28). В результате получим:

Найденные выражения функций и величин совпадают с выражениями (127.13) и (127.14), полученными в примере § 127. Следовательно, и все дальнейшие выкладки совпадут с выкладками примера § 127.

Если ограничиться в рядах (134.28) и (134.23) первыми членами, то получим для весовой функции оптимальной системы вместо (127.17) приближенную формулу

где относительная ошибка формулы (134.24) при замене в левой ее части ряда суммой первых его членов. Для квадрата средней квадратической ошибки линейной системы, весовая функция которой выражается правой частью формулы (134.31), получим формулу

Эта формула показывает, что в худшем случае, когда время экстраполяции значительно превосходит время наблюдения а (дисперсия скорости изменения полезного сигнала у бесконечна), относительное увеличение квадрата средней квадратической ошибки приближенной оптимальной системы, весовая функция которой определяется правой частью формулы (134.31), по сравнению с оптимальной системой не превосходит Следовательно, в случае, когда величина мала, относительное увеличение средней квадратической ошибки приближенной оптимальной системы по сравнению с оптимальной системой не будет превосходить величину Так, например, полагая в формуле будем иметь и относительная разница между средними квадратическими ошибками оптимальной и приближенной оптимальной систем не превзойдет 3%. Таким образом, мы имеем здесь пример, когда в каноническом разложении случайной функции X, полученном в примере 1 § 60, нельзя обоснованно ограничиться никаким конечным числом членов, и в то же время в соответствующем разложении весовой функции оптимальной линейной системы вполне достаточно взять 21 член (т. е. слагаемые, соответствующие

Приведенный пример мы разобрали исключительно с целью продемонстрировать на простейшем примере технику применения метода канонических разложений к определению оптимальной линейной системы и показать, как можно с достаточной точностью приблизиться к искомой оптимальной линейной системе при помощи сравнительно малого числа членов ряда (134.13). Иного смысла в применении метода канонических разложений в данной задаче нет, так как решение уравнения (125.7) в данном случае, как мы видели в § 127, получается непосредственно по формуле (127.3).

Легко проверить, что в данном случае функции могут быть представлены разложением (134.6) по функциям Действительно, из формул (60.38), (134.20) и (134.21) следует, что в данном случае

Сравнивая последнюю формулу со второй формулой (134.26) и принимая во внимание (134.30), находим:

Формулы (134.33) и (134.35) доказывают высказанное утверждение. Мы видим, таким образом, что для возможности представления функций разложением (134.6) совершенно не обязательно, чтобы случайная функция X имела конечную дисперсию.

Пример 2. Решить пример 2 § 132 методом канонических разложений. Для решения задачи воспользуемся каноническим разложением случайной функции, имеющей корреляционную функцию найденным в примере 2 § 60. На основании результатов этого примера случайная функция X примера 2 § 132 выражается в интервале -Тканоническим разложением, для которого

где — положительные корни уравнения (60.52), a определяются формулой (60.51).

Формула (134.14) в данном случае дает:

Выполняя интегрирование и пользуясь формулами (60.51), (60.52) и (134.36), после элементарных преобразований получаем:

Подставляя эти выражения и выражение (134.36) функций в формулу (134.13), находим весовые функции

Подставляя выражения (134.38) и выражение (134.36) дисперсий в формулу (134.17), находим величины

После этого решение задачи завершается так же, как в примере 2 § 132.

Если ограничиться в рядах (134.39) и (134.40) первыми пятью членами (что соответствует учету первых десяти членов в каноническом разложении случайной функции X), то средняя квадратическая ошибка найденной системы будет лишь немногим больше, чем на 4%, превосходить среднюю квадратическую ошибку оптимальной системы. Таким образом, данный пример, так же как и предыдущий, иллюстрирует возможность хорошего приближения к оптимальной системе небольшим числом первых членов рядов (134.13) и (134.17). На рис. 83 приведен график весовой функции оптимальной системы, вычисленной приближенно при помощи первых пяти членов рядов (134.39) и (134.40). Для сравнения на этом графике показана точная весовая функция оптимальной системы, найденная в примере 2 § 132 (наклонная прямая, вертикальными стрелками на концах интервала наблюдения показаны разрывы весовой функции оптимальной системы, соответствующие -функциям). Рассматривая этот график, можно сделать вывод, что, несмотря на хорошее приближение к минимуму средней квадратической ошибки, весовая функция, определяемая первыми пятью членами рядов (134.39) и (134.40), довольно значительно отклоняется от точной весовой функции оптимальной системы. Этот факт показывает, что с практической точки зрения не следует стремиться к высокой точности приближения к весовой функции оптимальной системы, а достаточно получить близость средней квадратической ошибки системы к минимальной.

Заметим еще, что если ограничиться в рядах (134.39) и (134.40) первыми десятью членами, то средняя квадратическая ошибка полученной системы будет превосходить минимальную всего на 2%.

Рис. 83.

Полученные результаты показывают, что метод канонических разложений является эффективным практическим методом приближенного определения оптимальных линейных систем.

Пример 3. Найти оптимальную линейную систему, предназначенную для дифференцирования сигнала, представляющего собой квадратный трехчлен относительно времени со случайными коэффициентами, если помеха X является случайной функцией с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией

Для решения задачи воспользоваться критерием минимума средней квадратической ошибки.

В этом примере наблюдаемая случайная функция и сигнал выражаются формулами

Таким образом, в данном случае и функции и выражаются формулами

Для решения задачи мы воспользуемся каноническим разложением помехи X, найденным для этого случая в примере § 61, приняв для простоты Этому каноническому разложению соответствуют функции определяемые формулами (61.25), (61.26). Подставляя эти выражения функций и выражения (134.43) функций в формулу (134.14), получим для величин еле дующие формулы:

где определяются формулами

(см. скан)

Что касается функций у, определяемых формулой (134.11), то в данном случае они равны нулю, так как случайная функция У в выражении сигнала отсутствует. Подставляя выражения (61.25) и (61.26) в формулу (134.14), получим для весовых функций формулу

или, изменяя порядок суммирования,

Величины в данном случае действительны. Поэтому формула (134.17), определяющая принимает вид:

Система линейных алгебраических уравнений (124.10) принимает в данном случае вид:

Решив эту систему уравнений, найдем Подставив полученные выражения и выражения (134.52) весовых функций в формулу (125.3) и принимая во внимание, что в данном случае найдем искомую весовую функцию оптимальной линейной системы. Вводя для краткости обозначения

получим окончательно следующую формулу для весовой функции оптимальной линейной системы:

Формула (124.32) для квадрата средней квадратической ошибки принимает в данном случае вид:

Предоставляем читателю самостоятельно решить эту задачу, пользуясь каноническим разложением случайной функции X, найденным в примере 2 § 60, для которого функции выражаются формулой (60.61), и сравнить результат с точным решением, полученным в примере 1 § 130.