ГЛАВА 13. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§ 88. Линейное преобразование случайной функции

В §§ 53 и 54 были изучены преобразования случайной функции при помощи элементарных линейных операций — дифференцирования и интегрирования. В результате был установлен закон преобразования математического ожидания и корреляционной функции при дифференцировании и интегрировании случайной функции. В § 52 был рассмотрен другой вид линейного преобразования случайных функций — суммирование. Очевидно, что суммирование функций можно рассматривать как такое линейное преобразование векторной функции, при котором суммируются все ее составляющие. В результате в § 52 была установлена зависимость математического ожидания и корреляционной функции суммы от математических ожиданий, корреляционных функций и взаимных корреляционных функций слагаемых. Сейчас мы выведем общий закон преобразования математического ожидания и корреляционной функции при линейном преобразовании случайной функции.

Предположим, что даны математическое ожидание и корреляционная функция случайной функции и поставим задачу найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции

где А — произвольный линейный оператор. Эта задача решается очень просто, если допустить, что оператор А и операция математического ожидания переместительны, что справедливо практически для всех линейных операторов. В § 53 и 54 было доказано, что операторы дифференцирования и интегрирования переместительны с операцией математического ожидания. В §§ 83 и 85 мы видели, что оператор любой линейной динамической системы представляет собой линейный интегральный оператор или сумму линейных интегральных операторов. Таким образом, практически для всех линейных динамических систем оператор А и операция математического ожидания

переместительны. Принимая это допущение, можем написать:

или

Вычитая эту формулу из (88.1), получим в силу принципа суперпозиции:

На основании этой формулы, принципа суперпозиции и переместительности оператора операцией математического ожидания корреляционная функция случайной функции У равна:

Индекс у оператора А в этой формуле указывает, что этот оператор действует над функциёй данного аргумента при фиксированных значениях всех остальных переменных. Операторы в формуле (88.5), очевидно, можно поменять местами. Таким образом, формула (88.5) дает:

Формулы (88.3) и (88.6) дают следующий закон преобразования математического ожидания и корреляционной функции при линейном преобразовании случайной функции. Математическое ожидание преобразуется тем же оператором, что и сама случайная функция. Корреляционная функция подвергается двойному преобразованию: один раз по отношению к первому аргументу при помощи того же оператора, что и сама случайная функция, и второй раз по отношению ко второму аргументу при помощи комплексного сопряженного оператора, причем порядок этих двух преобразований безразличен. Иными словами, для того чтобы найти корреляционную функцию преобразованной случайной функции необходимо: рассматривая корреляционную функцию как функцию при фиксированном преобразовать ее при помощи того же оператора, которым преобразуется случайная функция после этого, рассматривая полученный результат как функцию при фиксированном преобразовать его при помощи комплексного сопряженного оператора. Или наоборот, рассматривая сначала корреляционную функцию как функцию при фиксированном преобразовать ее при помощи комплексного сопряженного оператора, после чего, рассматривая полученный результат как функцию при фиксированном преобразовать его при помощи того же оператора, который применяется к случайной функции

Для случая действительного линейного оператора формула (88.6) принимает вид:

Таким образом, в частном случае, когда случайная функция X преобразуется действительным линейным оператором, ее корреляционная функция преобразуется этим линейным оператором дважды: один раз по отношению к первому аргументу, другой раз по отношению ко второму аргументу, безразлично в каком порядке.

Очевидно, что формулы (88.6) и (88.7) справедливы и для начальных моментов второго порядка:

Совершенно так же выводятся аналогичные формулы для начальных и центральных моментов высших порядков.

Очень удобным методом изучения линейных преобразований случайных функций является метод канонических представлений. На основании принципа суперпозиции линейное преобразование случайной функции, выраженной каноническим представлением, сводится к преобразованию тем же линейным оператором математического ожидания и всех координатных функций. Выразив случайную функцию X каким-нибудь каноническим разложением (56.1), получим каноническое разложение случайной функции У:

где определяется формулой (88.3), а

На основании (56.2) и (56.3) корреляционная функция и дисперсия случайной функции У выразятся формулами

Точно так же, выразив случайную функцию X интегральным каноническим представлением (67.21), получим интегральное каноническое представление случайной функции У:

где по-прежнему выражается формулой (88.3), а

На основании (67.22) и (49.10) корреляционная функция и дисперсия случайной функции К выразятся формулами

Формулы (88.10) и (88.14) показывают, что при линейном преобразовании случайной функции все координатные функции ее канонического представлений подвергаются тому же линейному преобразованию.

Рассматривая полученные формулы, мы видим, что при линейном преобразовании случайной функции ее математическое ожидание и координатные функции преобразуются значительно проще, чем корреляционная функция. Поэтому во многих практических задачах выгодно пользоваться для определения корреляционной функции и дисперсии случайной функции К методом канонических представлений.

Все выведенные в этом параграфе формулы имеют весьма общий характер. Аргументы и 5 в них могут быть любыми скалярными или векторными переменными.

Выведем еще закон преобразования характеристического функционала при линейном преобразовании случайной функции. По определению характеристического функционала (48.15) в случае действительных случайных функций имеем:

Но результат последовательного применения к функции X сначала некоторого оператора, а потом функционала является переменной величиной, значение которой определяется заданием функции X, т. е. является функционалом от Иными словами, произведение оператора А на функционал А является некоторым функционалом:

Этот функционал будет линейным, если оператор А и функционал А линейны. Действительно, для любых и для произвольных функций из линейности оператора А и функционала А следует:

Эта формула показывает, что функционал является линейным. Формулы (88.17) и (88.18) дают следующее соотношение между характеристическими функционалами случайных функций X и Y:

Это соотношение является обобщением свойств (25.5) и (28.8) характеристических функций случайных величин.

Если случайная функция X распределена нормально, то вследствие формул (48.16) и (88.20)

Эта формула показывает, что случайная функция также распределена нормально, причем ее математическое ожидание и корреляционная функция определяются формулами (88.3) и (88.7). Таким образом, нормальный закон распределения инвариантен по отношению к линейным преобразованиям случайных функций. В результате линейного преобразования нормально распределенных случайных функций всегда получаются нормально распределенные случайные функции. Этот результат является обобщением выведенного в главе 5 свойства нормального закона распределения случайных величин.

Кроме доказанного свойства инвариантности, нормальный закон распределения случайных функций при некоторых условиях обладает еще свойством устойчивости по отношению к линейным преобразованиям случайных функций. А именно при любом законе распределения случайной функции X закон распределения случайной функции получается близким к нормальному, если максимальный интервал за пределами которого значения Случайной функции и могут считаться практически независимыми (т. е. слабо зависимы), мал по сравнению с областью изменения аргумента на которую распространяется действие линейного оператора А. Для пояснения этого обстоятельства рассмотрим случай линейного интегрального оператора А:

имеющий наиболее важное значение для теории автоматического управления. Разбив область интегрирования на части представим формулу (88.22) в виде:

Если части достаточно велики по сравнению с максимальным интервалом за пределами которого и можно считать практически независимыми, то формула (88.23) представит случайную функцию в виде суммы слабо зависимых слагаемых. Если при этом число частей достаточно велико, то закон распределения случайной функции на основании центральной предельной теоремы (§ 39) будет как угодно близким к нормальному.