§ 128. Общая формула для определения весовой функции оптимальной одномерной линейной системы

В § 97 мы видели, что если известна весовая функция физически возможной линейной системы, преобразующей данную случайную функцию X в интервале в белый шум, и весовая функция обратной системы то случайная функция X может быть выражена в интервале интегральным каноническим представлением, координатными функциями которого являются функции переменной при различных фиксированных значениях х в интервале Принимая во внимание, что математическое ожидание случайной функции X всегда можно считать тождественно равным нулю (см. § 122), можем написать это интегральное каноническое представление случайной функции X в виде:

Белый шум выражается через случайную функцию формулой (97.5), которая в данном случае принимает вид:

Корреляционная функция белого шума выражается через его интенсивность обычной формулой (57.12).

Согласно изложенному в предыдущем параграфе общему принципу, мы должны найти оптимальную линейную систему для случая белого шума V на входе. Тогда, соединив эту систему последовательно с системой, преобразующей случайную функцию X в белый шум V, как показано схематически на рис. 79, мы и получим оптимальную линейную систему для случайной функции X на входе и интервала наблюдения Для частности, при получим оптимальную линейную систему для бесконечного интервала наблюдения.

Рис. 79.

Для того чтобы определить оптимальную линейную систему для случая белого шума V на входе, необходимо привести к этому входу функцию Это приведение можно, конечно, выполнить формальными математическими приемами, что и будет сделано при решении задачи в общем виде в §§ 133 и 135. Здесь же мы выполним это преобразование функции исходя из физических соображений. Для этого заметим, что линейная система, преобразующая случайную функцию X в белый шум V, будет вместе с тем осуществлять точно такое же преобразование и всех функций входящих

в состав наблюдаемой случайной функции Следовательно, наряду с белым шумом V искомая оптимальная система будет иметь на входе функции

Взаимная корреляционная функция случайной функции К с белым шумом V будет на основании формулы (90.7) равна:

Таким образом, при определении оптимальной линейной системы для случая белого шума V на входе мы должны заменить функции соответственно функциями Соответственно в уравнении (125.7) функция заменится функцией

а корреляционная функция заменится корреляционной функцией белого шума Следовательно, применяя для решения этого уравнения формулу (127.3), мы выразим весовую функцию X) линейной системы для белого шума V на входе формулой

Подставляя сюда выражение (128.5) функции получим:

На основании формулы (83.9) для весовой функции последовательного соединения двух линейных систем весовая функция оптимальной линейной системы для интервала наблюдения и входной случайной функции X будет равна:

Подставляя сюда выражение (128.7) функции получим следующую формулу для определения весовой функции оптимальной линейной системы:

Формула (128.9) дает общее решение интегрального уравнения (125.7) для случая интервала наблюдения В частности, при формула (128.9) дает общее решение интегрального уравнения (125.7), определяющего оптимальную линейную систему для случая бесконечного интервала наблюдения Принимая во внимание, что как весовая функция физически возможной системы, равна нулю при значениях второго аргумента, превосходящих значение первого аргумента, можем представить формулу (128.9) для случая бесконечного интервала наблюдения, в виде:

Формулы и (128.10) могут быть применены для решения уравнения (125.7) во всех случаях, когда удается найти весовую функцию линейной системы, преобразующей данную случайную функцию X в белый шум в соответствующем интервале наблюдения (т. е. найти интегральное каноническое представление случайной функции X). Полагая в формуле (128.9) или (128.10) последовательно найдем весовые функции После этого весовая функция оптимальной линейной системы определится как изложено в § 125.

При практическом применении формул (128.9) и (128.10) следует иметь в виду, что функция как и всякая весовая функция физически возможной системы, равна нулю при Вследствие этого она будет иметь в общем случае разрыв первого рода в точке Это нужно учитывать при выполнении интегрирования по х в формулах (128.9) и (128.10), имея в виду, что весовая функция практически всегда содержит линейную комбинацию -функции и ее производных.

Преобразованию (128.2) случайной функции X в белый шум V соответствует обратное преобразование (128.1), дающее интегральное каноническое представление случайной функции Совершенно так же формуле (128.3) соответствует обратное преобразование функций в Функции

На основании формул (128.1) и (90.7) взаимная корреляционная функция случайных функций может быть представлена в виде:

Формулы (128.3), (128.4), (128.11) и (128.12) показывают, что функции кроме соотношения (128.5), связаны обратным преобразованием

Подставляя сюда выражение функции из (128.6), приходим к формуле:

Этой формулой мы воспользуемся в § 130, когда нам понадобится определить функцию по известной функции

Пример. Решить пример предыдущего параграфа для случая, когда интервал наблюдения бесконечен а помеха связана с белым шумом имеющим единичную интенсивность, дифференциальным уравнением

В данном случае весовая функция определяется, очевидно, формулой (см. пример 1 § 84)

Подставляя это выражение и выражение функции из (127.12) в формулу (128.7) и принимая во внимание, что по условию находим:

Точно так же для функции получим:

Подставляя выражения (128.16), (128.17) и (128.18) в формулу (128.8), найдем весовые функции и

После этого по формулам (125.8) находим коэффициенты

Для того чтобы дальнейшее решение задачи было возможно, необходимо, чтобы все интегралы в формулах (128.21) были сходящимися. Для простоты мы предположим, что функции непрерывны, дифференцируемы и убывают при таким образом, что величины стремятся к нулю быстрее, чем где произвольно малое положительное число. Тогда все интегралы в формулах (128.21) будут конечны, и, выполняя интегрирование по частям, мы приведем формулы (128.21) к виду:

Вычислив коэффициенты и решив систему уравнений (124.10), которая имеет в данном случае вид:

калдем искомую весовую функцию оптимальной линейной системы по формуле (125.3), которая дает:

Средняя квадратическая ошибка оптимальной системы определится по -муле (124.32), которая дает: