§ 90. Общие методы исследования точности линейных систем

Изложенная в предыдущих двух параграфах теория линейных преобразований случайных функций дает несколько технически различных методов исследования точности линейных систем, имеющих заданные характеристики. В основе одних методов лежат формулы (88.6) и (89.4), дающие соотношения между корреляционными функциями входных возмущений и выходных переменных линейной системы. Основой других методов является метод канонических представлений случайных функций. Различные методы получаются также в зависимости от того, какие характеристики системы заданы.

В предыдущей главе мы видели, что наиболее удобной характеристикой произвольной линейной системы являются ее весовые функции. Иногда оказывается целесообразным задать оператор линейной системы в виде линейных уравнений, описывающих ее поведение. Таким образом, теория линейных преобразований случайных функций дает четыре различных общих метода исследования точности линейных систем в зависимости от способа задания их характеристик и характеристик действующих случайных возмущений. Первый метод — для случая, когда заданы математические ожидания и корреляционные функции случайных возмущений и весовые функции системы. Второй метод — для случая, когда заданы каноническое представление случайных возмущений и весовые функции системы. Третий метод — для случая, когда заданы каноническое представление случайных возмущений и уравнения, описывающие поведение системы. Наконец, четвертый метод — для случая, когда заданы математические ожидания и корреляционные функции случайных возмущений и уравнения, описывающие поведение системы.

Предположим, что на одномерную линейную систему с весовой функцией начиная с момента действует возмущение представляющее собой случайную функцию времени. Выходная переменная системы на основании (83.7) выражается формулой

Применяя для вычисления математического ожидания выходной переменной формулу (88.3), получим:

Корреляционная функция выходной переменной К на основании (88.7)

выражается формулой

Практически обычно требуется определить только дисперсию выходной переменной системы, а ее корреляционную функцию находить не требуется. Для определения дисперсии случайной функции К достаточно положить в формуле Тогда получим:

Рассмотрим теперь многомерную линейную систему, характеризуемую весовыми функциями на которую, начиная с момента действуют возмущения представляющие собой, случайные функции времени. Выходные переменные системы на основании (85.7) выражаются формулой

Математические ожидания выходных переменных системы на основании общих формул (88.3) и (89.2) определяются формулой

Корреляционная функция векторной случайной функции на основании (88.6) и (89.4) выражается формулой

Эта формула определяет корреляционные функции и все взаимные корреляционные функции случайных функций Полагая, в частности, найдем по формуле (90.7) дисперсии и корреляционные моменты выходных переменных системы

Таким образом, первый метод исследования точности линейных систем сводится к определению математического ожидания,

корреляционной функции и дисперсии выходной переменной по формулам (90.2), (90.3) и (90.4) в случае одномерной системы и к определению математических ожиданий, корреляционных функций и взаимных корреляционных функций выходные переменных по формулам (90.6) и (90.7) в случае многомерной системы.

Если входное случайное возмущение одномерной линейной системы задано каким-либо каноническим разложением, то ее выходная переменная согласно изложенному в § 88 выразится соответствующим каноническим разложением, координатные функции которого на основании (88.10) определяются формулой

Определив по этой формуле координатные функции которые в общем случае могут быть комплексными, найдем корреляционную функцию и дисперсию выходной переменной У по формулам (88.11) и (88.12), полагая в них

Аналогично, если входное случайное возмущение задано интегральным каноническим представлением, то выходная переменная У выразится соответствующим интегральным каноническим представлением, координатные функции которого вследствие (88.14) определяются формулой

Определив по этой формуле координатные функции найдем корреляционную функцию и дисперсию выходной переменной У по формулам (88.15) и (88.16) при

Если векторная случайная функция составляющими которой являются входные случайные возмущения многомерной линейной системы задана каким-либо каноническим разложением, то векторная случайная функция К, составляющими которой являются выходные переменные системы выразится соответствующим каноническим разложением, координатные функции которого на основании (88.10) и (89.7) определяются формулой

Определив по этой формуле координатные функции найдем корреляционные функции и все взаимные корреляционные функции выходных переменных системы по формуле (89.8) при эта формула определит дисперсии

и корреляционные моменты выходных переменных системы как функции времени

Аналогично, если векторная случайная функция X задана интегральным каноническим представлением, то векторная случайная функция К выразится соответствующим интегральным каноническим представлением, координатные функции которого вследствие (88.14) и (89.10) определяются формулой

Определив по этой формуле координатные функции найдем корреляционные и взаимные корреляционные функции выходных переменных системы по формуле (89.11) при При эта формула определяет дисперсии и корреляционные моменты выходных переменных системы как функции времени.

Таким образом, второй метод исследования точности линейных систем сводится в случае одномерной системы к определению математического ожидания выходной переменной по формуле (90.2), координатных функций по формуле (90.8) или (90.9) и корреляционной функции и дисперсии выходной переменной по формулам (88.11) и (88.12) или соответственно по формулам (88.15) и (88.16). В случае многомерной линейной системы второй метод сводится к определению математических ожиданий выходных переменных по формуле (90.6), координатных функций по формуле (90.10) или (90.11) и корреляционных функций и взаимных корреляционных функций выходных переменных по формуле (89.8) или соответственно по формуле (89.11).

Заметим, что формулы (90.2), (90.3), (90.4), (90.6) и (90.7) дают возможность исследовать точность линейных систем не только в случае нулевых начальных значений выходных переменных линейной системы. Включив начальные значения выходных переменных системы и их производных в действующие возмущения, как было показано в § 84 для случая, когда поведение линейной системы описывается дифференциальными уравнениями, можно определить изложенными методами вероятностные характеристики выходных переменных линейной системы при произвольных начальных условиях, в том числе и при случайных начальных условиях, если вероятностные характеристики начальных условий известны.

Выведенные формулы дают возможность исследовать точность физически возможных линейных систем с известными весовыми функциями. Совершенно так же из общих формул предыдущих двух параграфов выводятся аналогичные формулы для характеристик точности произвольных линейных систем, как физически возможных, так и физически невозможных. Для этого достаточно воспользоваться формулами (83.3) и (85.5) вместо (83.7) и (85.7).

Если весовые функции линейной системы неизвестны, но заданы уравнения, описывающие ее поведение, то для исследования точности системы можно применить любой из двух изложенных методов, определив предварительно весовые функции системы. Однако теория линейных преобразований случайных функций дает также возможность вывести уравнения, непосредственно определяющие математические ожидания и координатные функции выходных переменных линейной системы. Согласно формулам (88.3) и (89.2) для получения уравнений, определяющих математические ожидания выходных переменных линейной системы, следует в уравнениях данной системы заменить все случайные функции (входные возмущения и выходные переменные) их математическими ожиданиями. Для получения уравнений, определяющих координатные функции выходных переменных линейной системы, следует в уравнениях данной системы заменить все случайные функции соответствующими координатными функциями. Для применения этого метода необходимо задать входные случайные возмущения их каноническим разложением или интегральным каноническим представлением.

Рассмотрим более подробно задачу определения математических ожиданий и координатных функций выходных переменных линейной системы в случае, когда поведение системы описывается дифференциальными уравнениями. Сначала рассмотрим одномерную линейную систему, поведение которой описывается уравнением

где — полиномы относительно оператора дифференцирования, определяемые формулами (84.18). На основании изложенного математическое ожидание и координатные функции выходной переменной рассматриваемой системы определяются линейными дифференциальными уравнениями

Если начальные значения выходной переменной системы и ее производных не случайны, то эти начальные значения следует взять в качестве начальных значений математического ожидания ту и его производных при интегрировании уравнения (90.13):

Что касается уравнения (90.14), определяющего координатные функции, то его всегда следует интегрировать при нулевых начальных условиях

так как только в этом случае преобразование координатных функций, определяемое уравнением (90.14), будет однородным линейным преобразованием.

Если начальные значения выходной переменной системы и ее производных случайны, то общий интеграл уравнения (90.12) может быть представлен в виде суммы его частного интеграла при нулевых начальных условиях

и общего интеграла соответствующего однородного уравнения

Общий интеграл этого уравнения будет линейной функцией произвольных постоянных или, что одно и то же, линейной функцией случайных величин . Поэтому его вероятностные характеристики легко определяются по формулам §§ 19 и 20, если известны соответствующие вероятностные характеристики случайных величин Если случайные величины не коррелированы с действующим на систему случайным возмущением то корреляционная функция выходной переменной системы на основании (52.7) будет равна сумме корреляционных функций частного интеграла уравнения (90.12) при нулевых начальных условиях и общего интеграла однородного уравнения (90.18). Если случайные величины коррелированы с действующим на систему случайным возмущением то для определения корреляционной функции выходной переменной системы при случайных начальных условиях необходимо задать также взаимные корреляционные функции случайных величин со случайной функцией Тогда легко можно будет определить взаимную корреляционную функцию общего интеграла однородного уравнения (90.18) и частного интеграла уравнения (90.12), соответствующего нулевым начальным условиям. После этого корреляционная функция выходной переменной системы определится по формуле (52.6). Что касается математического ожидания выходной переменной системы, то оно всегда равно сумме математических ожиданий общего интеграла однородного уравнения (90.18) и частного интеграла уравнения (90.12) при нулевых начальных условиях. Очевидно, что математическое ожидание выходной переменной системы при случайных начальных условиях можно определить также интегрированием уравнения (90.13) при начальных условиях

Перейдем теперь к случаю многомерной линейной системы, поведение которой описывается системой линейны дифференциальных уравнений

где полиномы относительно оператора дифференцирования времени, коэффициенты которых в общем случае зависят от времени. Сформулированное выше общее правило дает следующие системы линейных дифференциальных уравнений, определяющие математическое ожидание и координатные функции векторной случайной функции К, составляющими которой являются выходные переменные системы

Если начальные условия не случайны, то уравнения (90.21), определяющие математические ожидания выходных переменных системы, следует интегрировать при этих начальных условиях. Уравнения (90.22), определяющие координатные функции выходных переменных системы, всегда следует интегрировать при нулевых начальных условиях. При случайных начальных условиях математическое ожидание и корреляционная функция векторной случайной функции К определяются совершенно так же, как выше было показано для случая одномерной системы.

Для решения уравнений, определяющих математические ожидания и координатные функции выходных переменных линейной системы, можно использовать моделирующие устройства или саму линейную систему (или ее действующий макет). Для определения математических ожиданий выходных переменных достаточно подать на входы системы (или ее модели) математические ожидания соответствующих случайных возмущений. Для определения координатных функций выходных переменных достаточно подать на входы системы соответствующие координатные функции совместного канонического разложения или интегрального канонического представления всех входных случайных возмущений, т. е. составляющие векторных координатных функций векторной случайной функции, составляющими которой являются входные случайные возмущения. При этом вследствие линейности системы масштаб математических ожиданий и координатных функций можно взять достаточно большим для того, чтобы определить математические ожидания и координатные функции выходных переменных с необходимой точностью, несмотря на непрерывное действие случайных возмущений во время определения математических ожидания

и координатных функций выходных переменных. Таким образом, линейную систему или ее действующий макет можно использовать для вычисления вероятностных характеристик ее собственных ошибок, несмотря на то, что во время вычисления этих вероятностных характеристик случайные возмущения будут непрерывно действовать на систему.

Таким образом, третий метод исследования точности линейных систем сводится к решению уравнений, описывающих поведение системы, в которых возмущения заменены соответствующими математическими ожиданиями или координатными функциями.

Если оператор линейной системы задан уравнениями, описывающими ее поведение, и известны корреляционные и взаимные корреляционные функции случайных возмущений, то для определения корреляционных и взаимных корреляционных функций выходных переменных системы можно воспользоваться уравнениями, связывающими корреляционные функции выходных переменных и входных возмущений, которые дает теория линейных преобразований случайных функций [50]. На основании формулы (89.16) для получения уравнений, определяющих взаимные корреляционные функции выходных переменных и входных возмущений, следует заменить в уравнениях системы все входные возмущения их корреляционными функциями При фиксированных значениях второго индекса и второго аргумента. Для получения уравнений, определяющих корреляционные функции выходных переменных, следует, как показывают формулы (88.7) и (89.16), заменить в уравнениях системы входные случайные возмущения взаимными корреляционными функциями выходных переменных и входных возмущений при фиксированных значениях первого индекса и первого аргумента.

Рассмотрим более подробно случай линейной системы, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями. Сначала рассмотрим одномерную систему, описываемую уравнением (90.12). На основании изложенного взаимная корреляционная функция случайных функций определяется линейным дифференциальным уравнением

в котором является параметром. После интегрирования уравнения (90.23) корреляционная функция выходной переменной К определяется линейным дифференциальным уравнением

в котором играет роль параметра.

Если поведение многомерной линейной системы описывается дифференциальными уравнениями (90.20), то на основании изложенного взаимная корреляционная функция векторных случайных функций

и X определяется системами линейных дифференциальных уравнений

в которых является параметром. После интегрирования систем уравнений (90.25), соответствующих значениям корреляционная функция векторной случайной функции У определяется системами линейных дифференциальных уравнений

в которых представляет собой параметр.

При интегрировании уравнений (90.23) и (90.25) приближенными методами необходимо производить их интегрирование многократно для достаточно большого числа значений параметра так как для последующего интегрирования уравнений (90.24) и (90.26) необходимо с достаточной точностью знать взаимную корреляционную функцию случайных функций как функцию второго аргумента. Это замечание относится и к более общему случаю, когда поведение системы описывается произвольными линейными уравнениями.

Таким образом, четвертый метод исследования точности линейных систем, так же как и третий метод, сводится к многократному решению уравнений, описывающих поведение рассматриваемой линейной системы, с определенными функциями в качестве возмущений. Для решения этих уравнений можно использовать моделирующие устройства или саму линейную систему или ее действующий макет. Возможность использовать для исследования точности линейной системы саму систему или ее действующий макет является очевидным преимуществом третьего и четвертого методов перед первым и вторым.

В частном случае, когда все действующие на линейную систему, описываемую дифференциальными уравнениями, возмущения являются белыми шумами, уравнения (90.23) и (90.25) легко интегрируются и задача исследования точности системы значительно упрощается. В этом случае из уравнения (90.24) или уравнений (90.26) можно вывести уравнения, непосредственно определяющие дисперсии и корреляционные моменты выходных переменных системы как функции времени. Мы дадим вывод этих уравнений для частного случая системы с одним входом, поведение которой описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае в уравнениях (90.20), (90.25) и операторы выражаются формулами

При помощи метода, изложенного в § 85, к этому случаю приводится случай одномерной системы, описываемой уравнением (90.12).

Уравнения (90.25) и (90.26) принимают в этом случае вид:

Если случайная функция X представляет собой белый шум, то без потери общности можно считать его интенсивность тождественно равной единице, так как белый шум с интенсивностью всегда можно представить как произведение на белый шум с единичной интенсивностью. В этом случае и интеграл системы уравнений (90.28) выражается через весовые функции рассматриваемой линейной системы. Принимая во внимание условия (85.29), которым удовлетворяют весовые функции системы, поведение которой описывается уравнениями первого порядка, и учитывая свойство -функции, получим:

Для вывода уравнений, определяющих в рассматриваемом случае функции найдем при помощи уравнений (90.29) полный дифференциал функции Меняя в уравнениях (90.29) местами индексы гири аргументы принимая во внимание свойство симметрии (69.6) корреляционной функции векторной случайной функции и учитывая, что в данном случае все корреляционные функции и коэффициенты действительны, получим:

Складывая это равенство, умноженное на с равенством (90.26), умноженным на получим следующее выражение полного дифференциала функции :

Отсюда, полагая и соответственно и принимая во внимание (90.30), находим:

Эта система линейных дифференциальных уравнений определяет дисперсии и корреляционные моменты выходных переменных рассматриваемой линейной системы как функции времени Заметим, что сведение задачи исследования точности линейной системы к решению одной системы уравнений, непосредственно определяющей дисперсии и корреляционные моменты выходных переменных системы, невозможно, если хотя бы одно из действующих на систему случайных возмущений не является белым шумом.

Едва ли стоит отмечать, что все изложенные общие методы исследования точности линейных систем применимы и в том случае, когда наряду со случайными возмущениями на систему действуют и неслучайные возмущения, так как определенные функции всегда можно рассматривать как случайные функции, корреляционные функции следовательно, и все координатные функции) которых тождественно равны нулю.

Кроме изложенных общих методов исследования точности линейных систем, применимых к любым линейным системам, теория линейных преобразований случайных функций дает и другие методы, которые часто оказываются более удобными для некоторых частных случаев. Так, например, в §§ 77 и 79 было показано, что все стационарные случайные функции выражаются интегральными канонике кими представлениями, координатными функциями которых являются показательные функции. С другой стороны, в § 87 мы видели, что показательные функции являются инвариантными функциями для любой стационарной линейной системы. Поэтому наиболее удобным методом исследования точности стационарных линейных систем, работающих в установившемся режиме под действием стационарных случайных возмущений, является метод, основанный на использовании частотной характеристики системы и интегрального канонического представления (77.13) или (79.19) случайных возмущений. Методы исследования точности стационарных и близких к стационарным линейных систем, основанные на использовании частотных характеристик, передаточных функций и характеристик реакции на показательные возмущения, будут изложены в §§ 91—96.

Пример 1. Найти дисперсию выходной переменной -фильтра с постоянной времени на входе которого, начиная с момента действует белый шум с постоянной интенсивностью До момента фильтр находится в состоянии покоя.

Рассматриваемый фильтр описывается линейным дифференциальным уравнением

Весовая функция его была определена в примере 1 § 84. Она выражается формулой (84.45) при Подставляя это выражение весовой функции и выражение (60.37) корреляционной функции белого шума X в формулу (90.4), получим:

Для того чтобы применить второй метод, воспользуемся каноническим разложением белого шума X, полученным в примере 1 § 60. Подставляя второе выражение (60.38) в формулу (90.8), находим координатные функции выходной переменной фильтра

Подставляя это выражение координатных функций в формулу (88.12) при и принимая во внимание, что согласно формуле (60.42) дисперсии А, случайных величин все равны найдем дисперсию выходной переменной фильтра:

Третий метод дает для координатных функций выходной переменной линейное дифференциальное уравнение

Интегрируя это уравнение при нулевом начальном значении получим ту же формулу (90.36), которую мы получили раньше.

Для оценки точности представления дисперсии случайной функции конечным отрезком ряда (90.37) заметим, что при формулу (90.37) можно заменить приближенной формулой

Практически этой формулой можно пользоваться при При ограничиваясь в формуле (90.39) первыми шестью членами ряда, получим:

Точное значение установившейся дисперсии в данном случае, как показывает формула (90.35), равно Таким образом, ограничиваясь в формуле (90.39) первыми шестью членами, что соответствует ограничению в каноническом разложении входного случайного возмущения (60.43) первыми 13 членами (т. е. первыми шестью гармониками), мы определили дисперсию выходной переменной инерционного звена с ошибкой около 3%, несмотря на то, что входное случайное возмущение в данном случае не может быть представлено с удовлетворительной точностью никаким конечным числом членов канонического разложения (60.43). Этот пример убеждает нас в том, что для исследования точности линейных систем автоматического управления можно практически пользоваться каноническими разложениями входных случайных возмущений, ограничиваясь в них сравнительно небольшим числом членов, даже в тех случаях, когда для представления самих случайных возмущений с достаточной точностью необходимо брать очень большое число членов этих канонических разложений. Объясняется это тем, что всякая система автоматического управления и ее отдельные звенья обладают инерцией, благодаря которой они пропускают лишь колебания ограниченной частоты и подавляют все высокочастотные слагаемые входных возмущений. Зная динамические характеристики системы, всегда можно приближенно оценить, какие координатные функции следует учесть в каноническом разложении выходных переменных системы, а какими можно пренебречь вследствие того, что система их практически не пропустит.

Так как входное возмущение X представляет собой белый шум, то четвертый метод дает в данном случае линейное дифференциальное уравнение, определяющее дисперсию случайной функции У. Для получения этого уравнения достаточно положить в Тогда получим:

Интегрируя это уравнение при нулевом начальном значении снова получим формулу (90.35).

Пример 2. Решить предыдущий пример для случая, когда математическое ожидание входного случайного возмущения представляет собой линейную функцию времени:

а корреляционная функция определяется формулой (61.18).

Подставляя выражение весовой функции (84.45) при и выражение (90.42) в формулу (90.2), находим математическое ожидание выходной переменной:

Точно так же по формуле (90.4) находим дисперсию выходной переменной:

Для применения второго метода заметим, что формула (61.18) является частным случаем формулы (60.63) при Следовательно, можно воспользоваться каноническим разложением (60.64), полученным в примере 2 § 60 для произвольной функции Координатные функции этого канонического разложения согласно (60.62) выражаются в данном случае формулой

Подставляя это выражение и выражение весовой функции в (90.8), найдем координатные функции выходной переменной:

где

Подставляя выражения (60.60) и (90.46) в формулу (88.12) при получим следующее выражение дисперсии выходной переменной системы:

Интервал времени во всех предыдущих формулах следует взять равным интересующему нас времени работы системы.

Для применения третьего метода следует согласно изложенному заменить в уравнении системы (9134) случайные функции по очереди их математическими ожиданиями и координатными функциями. Тогда, принимая во внимание (90.42) и (90.45), получим уравнение, определяющее математическое ожидание выходной переменной:

и уравнения, определяющие координатные функции выходной переменной:

Интегралы уравнений (90.49) и (90.50), обращающиеся в нуль при выражаются соответственно формулами (90.43) и (90.46).

Четвертый метод дает для определения взаимной корреляционной функции случайных функций уравнение (90.23), имеющее в данном случае вид:

После интегрирования этого уравнения корреляционная функция случайной функции определяется уравнением (90.24), которое имеет в данном случае вид:

Определив интеграл уравнения (90.51), обращающийся в нуль при и интеграл уравнения (90.52), обращающийся в нуль при и полагая после этого получим формулу (90.44) для дисперсии случайной функции