§ 95. Исследование точности многомерных стационарных линейных систем

Формулы §§ 92 и 93 легко обобщаются на многомерные стационарные линейные системы. Предположим, что возмущения, действующие на входах -мерной стационарной линейной системы, имеющей входов, являются составляющими векторной случайной функции, которая может быть выражена интегральным каноническим представлением

координатные функции которого представляют собой линейные комбинации показательных функций с постоянными коэффициентами:

Тогда выходные переменные системы выразятся аналогичным интегральным каноническим представлением, координатные функции которого определятся формулой

где передаточная функция системы, соответствующая выходу и входу. Корреляционная функция векторной случайной функции К, составляющими которой являются выходные переменные системы согласно общей теории § 90, определится формулой

В частном случае, если векторная случайная функция X, составляющими которой являются входные случайные возмущения стационарна, она может быть выражена интегральным каноническим представлением (95.1) при координатные функции которого, согласно формуле (79.16), равны:

Сравнивая эту формулу с (95.2), видим, что в данном случае следовательно, формула (95.3) принимает вид:

Подставляя это выражение в (95.4), получим:

Правая часть этой формулы зависит только от разности аргументов Следовательно, векторная случайная функция, составляющими которой являются входные переменные рассматриваемой системы, стационарна. Пользуясь спектральными плотностями случайных функций и их взаимными спектральными плотностями, которые выражаются формулой (79.11), приведем формулу (95.7) к виду:

Эта формула определяет корреляционные функции и взаимные корреляционные функции выходных переменных системы. При формула (95.8) дает дисперсии и корреляционные моменты выходных переменных системы. Сравнивая формулу (95.8) с (79.5), получаем следующую формулу для спектральных плотностей и взаимных спектральных плотностей случайных функций

Все формулы этого параграфа, так же как и формулы §§ 92 и 93, применимы только к асимптотически устойчивым системам и определяют характеристики точности системы только для моментов времени, достаточно удаленных от начального для того, чтобы все переходные процессы можно было считать законченными.

Заметим еще, что выведенные формулы применимы и к одномерным стационарным линейным системам, имеющим произвольное количество входов.

Пример. Определить корреляционную функцию, дисперсию и спектральную плотность выходной переменной одномерной стационарной линейной системы с двумя входами, предполагая, что векторная случайная функция, составляющими которой являются входные случайные возмущения стационарна.

Пользуясь формулой (95.9), находим спектральную плотность случайной функции на выходе системы:

где спектральные плотности входных случайных возмущений взаимные спектральные плотности. В частном случае, когда случайные функции не коррелированы, формула (95.10) принимает вид:

После определения спектральной плотности случайной функции У по формуле (95.10) или (95.11) ее корреляционная функция и дисперсия могут быть найдены по формулам (77.6) и (77.8).

Легко видеть, что в случае некоррелированных случайных возмущений тот же результат получится, если определить по формулам (92.3) и (92.4) корреляционные функции и дисперсии случайной функции У при действии каждого из возмущений по отдельности и в соответствии с правилом § 52 сложить полученные результаты.