§ 29. Связь между характеристической функцией и моментами случайного вектора

Так же как для скалярной случайной величины, выводятся формулы, выражающие моменты случайного вектора через его характеристическую функцию. Если существует момент случайного

вектора то, дифференцируя формулу (28.2), получаем:

Полагая здесь находим выражение моментов случайного вектора через его характеристическую функцию:

Если случайный вектор X имеет конечные моменты до порядка включительно, то, применяя к его характеристической функции формулу Маклорена, получим на основании (29.2):

Таким образом, моменты случайного вектора можно определить путем разложения его характеристической функции в степенной ряд по параметрам

Совершенно аналогично выводятся формулы, связывающие центральные моменты случайного вектора с его характеристической функцией:

Если случайный вектор X имеет конечные центральные моменты до порядка включительно, то

Разложение в ряд характеристических функций случайных векторов дает возможность сравнительно просто находить их моменты. В качестве примера применим этот способ для определения центральных моментов нормально распределенного случайного вектора. Результаты решения этой задачи понадобятся нам в дальнейшем.

Принимая во внимание выражение (28.17) характеристической функции многомерного нормального распределения вероятностей, находим:

Отсюда видно, что все центральные моменты нечетного порядка нормально распределенного случайного вектора равны нулю. Для центрального момента четного порядка из сравнения (29.5) и (29.6) вытекает формула

где сумма распространена на все возможные различные перестановки индексов из которых индексов равны равны равны Очевидно, что число таких перестановок, а следовательно и число слагаемых в сумме (29.7), равно Полагая, в частности, в формуле следовательно, получим формулу для смешанного центрального момента четвертого порядка четырехмерного случайного вектора, подчиненного нормальному закону распределения:

Формула (29.7) дает выражение центральных моментов нормально распределенного случайного вектора через корреляционные моменты его составляющих.

Заметим, что приведенный вывод формулы (29.7) для моментов нормально распределенного случайного вектора при помощи разложения его характеристической функции в ряд крайне прост, в то время как непосредственное вычисление моментов по формулам § 18 было бы весьма громоздким.

Применяя формулу Маклорена к логарифму характеристической функции случайного вектора, можно, так же как это было сделано Для скалярной случайной величины, определить семи-инварианты случайного вектора и найти зависимости, связывающие их с его моментами.