ГЛАВА 16. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ

§ 118. Задачи определения оптимальных систем

Изложенные в главах 13 и 14 методы дают возможность исследовать точность систем, характеристики которых известны (т. е. операторы которых известны). Однако для проектирования различных автоматических систем эти методы недостаточны. При проектировании всякой системы ее характеристики бывают неизвестны и их требуется определить так, чтобы система была в некотором смысле оптимальной с точки зрения точности. С примерами подобных задач мы уже встречались в предыдущих главах. Так, в примере 3 § 16 была рассмотрена задача оптимального обнаружения импульсных сигналов в присутствии помех. В примере 4 § 92 была рассмотрена задача определения постоянной времени простого инерционного звена (фильтра первого порядка), обеспечивающей минимум средней квадратической ошибки выделения линейной функции времени из суммы этой функции и помехи, представляющей собой белый шум. Обе эти задачи являются лишь простейшими задачами этого рода, и нам удалось решить их самыми элементарными средствами. Задачи определения оптимальных систем, возникающие в практике проектирования, как правило, бывают значительно более сложными, и для их решения потребовалось создание специальной теории. Так, например, задача определения оптимальной системы для обнаружения сигналов в присутствии помех в случае непрерывных сигналов и помех уже не может быть решена так просто, как в случае импульсных сигналов. Задача определения оптимальных характеристик следящей системы, обеспечивающих воспроизведение некоторой переменной величины с максимальной возможной точностью, также не может быть решена элементарными средствами, если структура следящей системы не задана. Конечно, изложенные в главах 13 и 14

методы могут быть применены для определения оптимальной системы путем подбора. Рассчитав этими методами различные технически целесообразные варианты проектируемой системы при различных значениях ее параметров, можно выбрать структуру системы и ее параметры так, чтобы система была оптимальной с точки зрения точности решения тех задач, для которых она предназначена. Однако такой способ связан с очень громоздкими и трудоемкими вычислениями, которые часто оказываются практически невыполнимыми даже для современных быстродействующих математических машин. Поэтому для практики весьма важно уметь непосредственно определять оптимальные характеристики систем по данным характеристикам условий их работы, не прибегая к численному исследованию точности большого количества различных вариантов систем.

Всякая система предназначена для работы в различных условиях, т. е. для различных законов изменения подлежащих воспроизведению величин в зависимости от времени. Истинный закон изменения подлежащих воспроизведению величин в каждом конкретном случае остается неизвестным. Поэтому естественно рассматривать подлежащие воспроизведению сигналы как случайные функции времени, а законы их изменения в различных конкретных условиях — как различные возможные реализации этих случайных функций. Тогда задача определения оптимальной системы будет состоять в том, чтобы по данным вероятностным характеристикам подлежащих воспроизведению случайных функций и помех найти оператор системы, обеспечивающий в известном смысле наилучшую точность работы системы. На такой постановке задачи, когда подлежащие воспроизведению или обнаружению сигналы рассматриваются как случайные функции, основана вся современная статистическая теория обнаружения и воспроизведения сигналов в присутствии помех, которую мы будем коротко называть теорией оптимальных систем.

В простейших задачах оптимальная система может не обладать наибольшей возможной точностью, в каждом конкретном случае ее работы. Однако при многократном применении этой системы в самых различных условиях, для работы в которых она предназначена, ее точность в среднем будет наилучшей возможной. Таким образом, простейшие оптимальные системы обладают наилучшей точностью лишь в среднем при всех возможных условиях их работы и могут не быть оптимальными в каждом конкретном случае их применения.

Современный уровень техники и особенно развитие математических машин, могущих выполнять различные математические операции, в том числе и логические, дает возможность поставить вопрос о создании таких автоматических систем, которые могли бы производить анализ условий своей работы в каждом конкретном случае и на основании полученной в результате этого анализа информации решать поставленные задачи оптимальным образом в каждом конкретном случае. Простейшие системы такого рода, содержащие элементы

автоматической настройки некоторых своих параметров в зависимости от результатов анализа входных и выходных величин, обычно называются самонастраивающимися. Более сложные системы такого рода, весь образ действия которых в каждый данный момент определяется результатами анализа внешних условий и предшествующей работы, можно назвать самоорганизующимися. Ясно, что для проектирования самонастраивающихся и самоорганизующихся систем совершенно недостаточна теория, обеспечивающая наилучшую точность лишь в среднем для всей массы условий работы. Нужна такая теория, которая позволяет решать комплексную задачу обработки вводимой в систему информации и оптимального ее использования в каждом конкретном случае. Современная теория оптимальных систем дает возмсж юсть решать подобные задачи. В главе 18 будут изложены некоторые методы, позволяющие находить оптимальные операции над входными сигналами, обеспечивающие наилучшую точность системы для каждой конкретной реализации входных сигналов.

Теория оптимальных систем не дает возможности непосредственно находить такие системы, которые могут быть воплощены в реальные конструкции. Она позволяет определять лишь оптимальные математические операции над входными сигналами, при которых достигается теоретический предел возможной точности системы при данных вероятностных характеристиках условий ее работы и помех, обусловленный самой природой задачи, внутренними свойствами тех данных, которыми мы располагаем для ее решения. В соответствии с этим практическое значение теории оптимальных систем заключается в основном в том, что она позволяет находить теоретический оптимум, к которому конструктор должен стремиться при проектировании реальных систем. Зная этот предел, конструктор может оценить, насколько близка к оптимальной уже спроектированная система, и определить, имеет ли смысл дальнейшая работа над улучшением ее точности. Таким образом, теория оптимальных систем дает конструктору методы, с помощью которых он может сознтгльно оценивать точность проектируемых систем и избавляться от многих бесплодных попыток улучшить точность системы путем изменения ее структуры и параметров в тех случаях, когда существенное улучшение точности принципиально невозможно.

Следует заметить, что максимальное достижимое качество решения задач обнаружения или воспроизведения сигналов в присутствии помех в значительной мере зависит от того, насколько сильно сигналы отличаются по своим свойствам от помех. Так, например, если сигнал представляет собой медленно изменяющуюся функцию, а помеха изменяется с большой частотой, то можно рассчитывать на хорошее подавление помехи и выделение сигнала. Если же сигнал также является высокочастотным и при этом не содержит таких частот, которых нет в помехе, то получить хорошее подавление помехи, не подавив одновременно и сигнал, практически невозможно.

Конечно, математические методы теории оптимальных систем дают формальное решение во всех случаях. Однако качество оптимальной системы получается низким, если сигнал слабо отличается от помехи.

На основании изложенного общая задача теории оптимальных систем может быть сформулирована как задача нахождения такой идеальной теоретической системы, выходная переменная которой с наибольшей возможной точностью воспроизводит данную случайную функцию (содержащийся во входной случайной функции полезный сигнал или результат заданного его преобразования). С математической точки зрения эта задача представляет собой задачу приближения одной случайной функции путем преобразования результатов наблюдения другой случайной функции. Но в таком виде эта задача является самой общей задачей математической статистики, когда по результатам наблюдения одной случайной функции требуется построить случайную функцию (оценку), насколько возможно более близкую к другой случайной или неслучайной функции. Поэтому совершенно естественной тенденцией развития теории оптимальных систем в настоящее время является максимальное использование существующих методов математической статистики, в первую очередь современной теории статистических решений, и их дальнейшее развитие [96, 101]. С этой точки зрения теория оптимальных систем по существу представляет собой прикладную теорию, статистических решений.

Задачи оптимального обнаружения и воспроизведения различного рода сигналов в присутствии помех возникают не только в автоматике и радиотехнике, но и во многих других областях. Так, например, вследствие различных процессов, происходящих в атмосфере и вне ее, параметры состояния атмосферы представляют собой случайные функции времени и координат точки пространства. Оптимальная экстраполяция этих случайных функций во времени и в пространстве с учетом законов динамики атмосферы является основной задачей прогноза погоды. Обнаружение отдаленных землетрясений и различных процессов в земной коре на фоне непрерывных случайных колебаний земной поверхности и исследование характера этих процессов также, очевидно, относятся к классу задач обнаружения и воспроизведения сигналов в присутствии помех. Другими примерами задач подобного рода являются оптимальное воспроизведение звука средствами звукозаписи, определение с наибольшей возможной точностью элементов движения искусственных спутников и космических ракет по результатам наблюдений, проектирование оптимальных автоматических систем управления производственными процессами, проектирование оптимальных систем управления полетом как для обычных, так и для космических летательных аппаратов, обнаружение и количественная оценка погрешностей различных приборов по результатам их испытаний, определение характеристик производственных объектов в процессе их работы и многие другие проблемы. Естественно, что все общие методы теории оптимальных

систем, не требующие специальных ограничивающих предположений о характере сигналов и помех, применимы в равной мере ко всем задачам подобного рода, в частности ко всем перечисленным задачам. К таким общим методам относятся методы определения оптимальных систем, изложенные в §§ 133—137 и в главе 18. Наряду с этим теория оптимальных систем располагает и некоторыми частными методами, имеющими ограниченную область применения. Примерами подобных частных методов являются методы, изложенные в §§ 127—132, применимые только к задачам, в которых наблюдаемая функция является функцией одной скалярной переменной.

Иногда выражается сомнение в практической полезности теории оптимальных систем, основанное на том факте, что для определения оптимальных систем необходимо знать законы распределения сигналов и помех или по крайней мере некоторые их вероятностные характеристики, в то время как вероятностные характеристики сигналов обычно бывают неизвестными. Однако это сомнение не является основательным по следующим причинам. Во-первых, во всех случаях, когда рассеивание сигналов (т. е. рассеивание их реализаций, соответствующих различным возможным условиям работы данной системы) велико по сравнению с рассеиванием помех, характеристики оптимальных систем, как мы увидим дальше, слабо зависят от вероятностных характеристик сигналов. Что же касается вероятностных характеристик помех, то они обычно сравнительно легко определяются экспериментально или теоретически (по крайней мере для всех естественных помех и шумов). Во-вторых, теория оптимальных систем дает алгоритмы для оценки сигналов, которые можно использовать для построения систем с накоплением опыта, которые будут автоматически находить оценки законов распределения сигналов по результатам всех предшествующих циклов работы и использовать эти оценки вместо неизвестных истинных законов распределения сигналов для последующих циклов работы. Такие «самообучающиеся» системы будут с каждым новым циклом работы становиться все более и более близкими к оптимальным системам, соответствующим неизвестным истинным законам распределения сигналов. Таким образом, теория оптимальных систем дает возможность находить алгоритмы для построения оптимальных или по крайней мере самооптимизирующихся в процессе работы систем даже в тех случаях, когда законы распределения подлежащих обнаружению или воспроизведению сигналов неизвестны.

Основная задача теории оптимальных систем, поставленная выше как задача приближения (аппроксимации) одной случайной функции путем преобразования другой случайной функции, может быть сформулирована математически следующим образом. Случайная функция

наблюдается в некоторой области изменения аргумента Требуется найти такой оператор А, чтобы случайная функция

была насколько возможно более близкой к случайной функции в области 5 изменения аргумента В соответствии с принятой в математической статистике терминологией мы будем называть случайную функцию оценкой случайной функции В такой постановке задача приближения случайных функций является весьма общей и охватывает все встречающиеся на практике задачи обнаружения и воспроизведения сигналов в присутствии помех. Случайные функции и их аргументы могут быть как скалярными величинами, так и векторами любых чисел измерений. Область в которой наблюдается случайная функция и область 5 изменения аргумента в которой система должна воспроизводить случайную функцию могут быть произвольными множествами значений соответствующих аргументов, причем область может зависеть от значения аргумента

В задачах теории автоматического управления и радиотехники наблюдаемая случайная функция обычно представляет собой результат наложения помех на некоторую функцию, которую система должна воспроизвести или непосредственно, или после некоторого заданного преобразования. Таким образом, случайная функция в задачах теории автоматического управления в общем случае представляет собой результат некоторого заданного преобразования сигнала, содержащегося в наблюдаемой случайной функции поступающей на вход системы. Вследствие этого мы будем называть случайную функцию для краткости просто сигналом. Помехи, накладывающиеся на входной сигнал системы, могут представлять собой ошибки измерительных приборов, входящих в состав системы, шумы в элементах системы и флуктуации режима их работы, т. е. случайные отклонения условий, определяющих режим работы системы, от номинальных. Помехи могут быть также внешними по отношению к системе, в частности специально организованными для того, чтобы нарушить работу данной системы или ухудшить ее точность.

Аргумент наблюдаемой случайной функции в задачах теорий автоматического управления и радиотехники обычно представляет собой время, а область -некоторый интервал времени или дискретное множество моментов времени. При этом аргумент 5 обычно может трактоваться соответственно как момент конца интервала наблюдения или как последний момент из дискретного множества моментов наблюдения случайной функции Область 5 представляет собой совокупность моментов времени в которые система должна воспроизводить сигнал В частном случае область 5 может состоять из одного фиксированного момента времени Таким образом.

в общем случае аргумент в задачах автоматики и радиотехники представляет собой текущий момент в интервале времени в котором система должна воспроизводить сигнал по результатам наблюдения случайной функции в интервале или в дискретном ряде моментов времени

При этом аргумент будет представлять собой любой момент времени в интервале наблюдения или любой из моментов наблюдения

Следует заметить, что за переменную совершенно не обязательно принимать момент окончания наблюдения. В некоторых задачах переменную целесообразно выбирать иначе. Так, например, в задачах, в которых требуется найти оценку значений сигнала внутри интервала наблюдения (например, в задаче нахождения оценки математического ожидания случайной функции по результатам ее наблюдения в данном интервале времени), за переменную 5 целесообразно принять любой момент внутри интервала наблюдения Другим примером может служить задача одновременной экстраполяции сигнала на все моменты времени в данном интервале по результатам наблюдения функции в некотором предшествующем интервале времени В этом случае за переменную 5 целесообразно принять любой момент в интервале времени Область наблюдения в подобных задачах не зависит от

Заметим еще, что заменой переменных интервал наблюдения всегда можно сделать независимым от переменной например, привести его к интервалу [0, 1]. Таким образом, с математической точки зрения задачи, в которых область наблюдения зависит от не отличаются от задач с постоянной областью наблюдения. Однако в практических задачах автоматики целесообразно учитывать зависимость области наблюдения от если такая зависимость существует.

В задачах практики интервал наблюдения всегда бывает конечным. Однако иногда он бывает настолько большим, что оказывается возможным идеализировать задачу, приняв допущение, что процесс наблюдения продолжается неограниченно долго, т. е. в течение всего полубесконечного интервала времени, предшествующего данному моменту В большинстве же задач приходится учитывать конечность интервала наблюдения. Если система должна использовать для воспроизведения сигнала все наблюденные значения входной функции то началом наблюдения всегда является момент начала работы системы В этом случае интервал наблюдения растет с течением времени Однако, кроме естественного ограничения интервала наблюдения моментом начала работы системы, часто оказывается необходимым ограничить его некоторой конечной длительностью «памяти» системы, чтобы исключить возможность использования системой устаревшей информации, непригодной для решения задачи для данного момента времени Типичным примером такой системы с конечной памятью является система

измерения координат летящих самолетов при помощи локатора. Закончив сопровождение одного самолета, эта система должна переключаться на сопровождение другого самолета. При этом вся информация о координатах первого самолета, поступившая в систему, является посторонней для решения задачи определения координат второго самолета и может только ухудшить точность определения координат второго самолета. Поэтому система должна через некоторое время после начала слежения за вторым самолетом «забыть» полученную информацию о движении первого самолета, чтобы эта информация не использовалась при определении координат второго самолета. Вопрос о выборе памяти системы как и все подобные вопросы, может быть решен на основе компромисса между требованием к точности сопровождения самолетов и требованием к быстроте переключения локатора от сопровождения одного самолета на сопровождение другого.

Сформулированная выше общая задача теории оптимальных систем является неопределенной. Для того чтобы сделать ее определенной, необходимо указать, в каком смысле оценка сигнала должна наилучшим образом воспроизводить сигнал т. е. дать критерий оптимума. Вопрос о критериях оптимума будет рассмотрен в следующем параграфе.

Пример 1. Требуется спроектировать систему, которая наилучшим образом выделяет сигнал из суммы этого сигнала и помехи (т. е. отфильтровывает помеху

В данном случае входным сигналом системы, т. е. наблюдаемой функцией, является сумма

По результатам наблюдения этой функции в течение некоторого времени Т система должна в каждый данный момент 5 воспроизводить на выходе с возможно большей точностью величину Таким образом, в данном случае

а областью наблюдения является интервал

Если система предназначена для экстраполяции сигнала на время то подлежащим воспроизведению сигналом является

Для системы, предназначенной для интерполяции сигнала подлежащий Воспроизведению сигнал определяется той же формулой (118.4) при Очевидно, что любая система может производить интерполяцию сигнала Лишь с запаздыванием, по меньшей мере равным

Для системы, предназначенной для дифференцирования сигнала подлежащий воспроизведению сигнал определяется формулой

Для системы, предназначенной для экстраполяции или интерполяции производной сигнала

И вообще для системы, которая должна производить некоторую операцию В над сигналом получая на входе сумму этого сигналч и помехи наблюдаемая функция и подлежащий воспроизведению сигнал определяются соответственно формулой (118.2) и формулой

Пример 2. Найти оптимальные характеристики линейной следящей системы локатора, обеспечивающей сопровождение летящего самолета лучом локатора, предполагая, что исполнительное устройство (двигатель), приводящее в движение антенну локатора, представляет собой известную линейную систему.

В данном случае сигналом, подлежащим воспроизведению с наибольшей возможной точностью, является положение самолета, характеризуемое в общем случае трехмерным вектором Сигналом ошибки следящей системы является сумма взятой с обратным знаком истинной ошибки локатора и помехи представляющей собой результат действия случайных флуктуаций отраженного от самолета сигнала и внутренних шумов приемной аппаратуры локатора. Кроме того, на исполнительное устройство локатора действует случайная нагрузка (момент), вызванная действием аэродинамических сил на антенну локатора (случайных порывов ветра). В результате этого на входной сигнал исполнительного устройства локатора будет накладываться случайная помеха Таким образом, следящая система локатора имеет структурную схему, представленную на рис. 71, где известный линейный оператор исполнительного устройства, а неизвестный линейный оператор корректирующего устройства, которое требуется спроектировать.

На основании принципа суперпозиции структурная схема рассматриваемой следящей системе может быть преобразована как показано на рис. 72 и 73.

Рис. 71.

Рис. 72.

Рис.

В результате поставленная задача определения оптимальной следящей системы сводится к определению оптимального линейного оператора А замкнутой следящей системы, состоящей из последовательно соединенных неизвестного корректирующего устройства и известного исполнительного

устройства, охваченных жесткой отрицательной обратной связью, которая должна с наибольшей возможной точностью воспроизводить на выходе сигнал

получая в качестве входного сигнала функцию

Определив оператор замкнутой оптимальной системы, можно будет найти соответствующий оператор оптимального корректирующего устройства

В общем случае подлежащий воспроизведению сигнал и наблюдаемая функция представляют собой в данной задаче трехмерные векторные случайные функции времени. Однако система измерения угловых координат самолета всегда бывает независимой от системы измерения дальности. При этом часто для упрощения задачи проектируют отдельные независимые друг от друга следящие системы для каждого из каналов локатора. В этом случае представляет собой любую из угловых координат самолета, например азимут, являются скалярными случайными функциями времени.

Очевидно, что все предыдущие рассуждения применимы и к задаче нахождения оптимального нелинейного корректирующего устройства рассматриваемой следящей системы, если исполнительное устройство представляет собой линейную систему. В этом случае мы приходим к задаче определения оптимального нелинейного оператора А замкнутой системы, обведенной пунктирным прямоугольником на рис. 73, с последующим определением нелинейного оператора корректирующего устройства.

Пример 3. Требуется определить характеристики системы в процессе ее работы по результатам наблюдения ее входных и выходных переменных. Эта задача возникает при исследовании промышленных объектов в процессе производства, когда не представляется возможности исследовать поведение объектов при заданных частных входных сигналах.

Для решения этой задачи обычно определяются вероятностные характеристики входных и выходных переменных системы. При этом, вследствие ошибок измерений и ошибок в определении веро ттностных характеристик входных и выходных переменных системы, точное определение ее характеристик оказывается принципиально невозможным. Поэтому приходится ставить задачу определения такой теоретической системы, которая наилучшим образом воспроизводит выходные переменные исследуемой системы при данных вероятностных характеристиках ее входных сигналов. Но эта задача не отличается от сформулированной выше общей задачи теории оптимальных систем. Таким образом, задача определения характеристик систем в процессе их работы принципиально решается методами теории оптимальных систем.