§ 83. Весовые функции одномерных линейных систем

Принцип суперпозиции дает возможность представить реакцию линейной системы на произвольное возмущение в виде суммы реакций этой системы на элементарные возмущения, на которые можно разложить произвольное возмущение. Вследствие этого динамические свойства линейной системы можно полностью охарактеризовать ее реакцией на какое-нибудь определенное элементарное возмущение, при помощи которого можно достаточно просто выражать любые возмущения.

Рассмотрим линейную систему с одним входом и одним выходом. Пользуясь -функцией, можно любую функцию выразить интегралом

Эта формула является частным случаем формулы (82.4) при

Таким образом, формула (83.1) дает разложение любой функции на элементарные импульсы. На основании формул (82.5), (82.6) и (83.2) выходная переменная линейной системы выражается формулой

где реакция этой системы в момент на возмущение т. е. на единичный импульс, действующий в момент

Функция называется весовой функцией импульсной переходной функцией линейной системы. Зная весовую функцию линейной системы, имеющей один вход и один выход, можно по формуле (83.3) определить выходную переменную этой системы при произвольном возмущении Таким образом, весовая функция линейной системы полностью характеризует ее динамические свойства.

Рассмотрим весовые функции линейных систем, выполняющих элементарные операции алгебры и анализа. Весовая функция безынерционного линейного усилителя, имеющего коэффициент усиления очевидно, равна В частности, при получаем весовую функцию системы тождественного преобразования, выходная переменная которой всегда равна входному сигналу. Весовая функция точной дифференцирующей системы на основании формулы (9.12) равна — Весовая функция системы,

вырабатывающей производную порядка входного сигнала, на основании той же формулы (9.12) равна Весовая функция интегратора равна Весовая функция системы чистого запаздывания (осуществляющей сдвиг входного сигнала по оси времени в положительную сторону) равна Весовая функция системы, оператором которой является линейный дифференциальный оператор общего вида

равна где индекс указывает, что оператор действует на функцию рассматриваемую как функция при фиксированном значении х.

Очевидно, что никакая реальная физическая система не может реагировать в данный момент на возмущения, в частности импульсы которые действуют на нее после момента Поэтому весовая функция любой реальной физической линейной системы всегда равна нулю при Это свойство весовой функции реальной физической линейной системы выражается формулой

и называется условием физической возможности системы. На основании этого свойства формулу (83.3) для реальной динамической системы, находящейся в состоянии покоя до момента начиная с которого на нее действует возмущение можно переписать в виде:

Имея в виду возможное наличие импульсов в действующем возмущении и линейной комбинации импульсных функций в выражении весовой функции пределы интегрирования в формуле (83.7) обычно всегда включают в интервал интегрирования, т. е. интеграл рассматривается как предел интеграла, распространенного На интервал времени при

В отличие от физически возможных динамических систем можно рассматривать теоретические линейные системы, не удовлетворяющие условию физической возможности (83.6). Примером такой теоретической системы может служить чистый экстраполятор, весовая функция которого, равная отлична от нуля только при

Рассмотрим последовательное соединение двух линейных систем, имеющих весовые функции Очевидно, что в результате последовательного соединения линейных систем получится линейная система. Для определения весовой функции этой системы приложим к ее входу единичный импульс Тогда получим на выходе первой системы и на входе второй системы величину а на выходе второй системы — искомую весовую функцию последовательного соединения двух систем. Применяя для вычисления выходной переменной системы формулу (83.3), получим следующую формулу для весовой функции последовательного соединения двух линейных систем:

Рис. 37.

При изменении порядка соединяемых систем весовые функции поменяются местами. Легко сообразить, что при этом в общем случае формула (83.8) даст весовую функцию, отличную от Только в некоторых частных случаях результат последовательного соединения линейных систем не зависит от их порядка.

Для физически возможных систем весовые функции удовлетворяют условию (83.6), вследствие чего формула (83.8) может быть представлена в виде:

где пределы интегрирования, согласно принятому условию, всегда включаются в интервал интегрирования.

Применяя последовательно формулу (83.8) или (83.9), можно определить весовую функцию линейной системы, полученной в результате последовательного соединения любого числа линейных систем.

В результате последовательного соединения двух взаимно обратных систем, согласно определению, получается система тождественного преобразования, имеющая весовую функцию Поэтому, применяя формулу (83.8) к взаимно обратным линейным системам, имеющим весовые функции получим:

Эти формулы представляют собой соотношения между весовыми функциями взаимно обратных линейных систем. Для физически возможных систем формулы (83.10) и (83.11) на основании (83.6) могут быть представлены в виде:

где согласно принятому условию пределы интегрирования всегда включаются в интервал интегрирования.

Рассмотрим теперь параллельное соединение линейных систем (рис. 38). Очевидно, что при параллельном соединении линейных систем всегда получается линейная система и ее весовая функция равна сумме весовых функций соединяемых систем:

Рис. 38.

Перейдем к задаче определения весовой функции линейной системы, полученной в результате замыкания данной линейной системы, имеющей весовую функцию отрицательной обратной связью, в которую включена линейная система с весовой функцией (рис. 39). При подаче на вход замкнутой системы единичного импульса ее выходная переменная, совпадающая с выходной переменной системы с весовой функцией будет равна искомой весовой функции Эта же величина поступит на вход системы с весовой функцией находящейся в цепи обратной связи. Ее выходная переменная будет вычитаться из входного сигнала и полученная разность будет служить входным возмущением для системы с весовой функцией Следовательно, на основании (83.3) имеет место равенство:

Выполняя интегрирование и изменяя порядок интегрирования в двойном

Рис. 39.

интеграле, приведем равенство (83.15) к виду:

Это равенство представляет собой линейное интегральное уравнение второго рода относительно весовой функции замкнутой системы Таким образом, для определения весовой функции линейной системы, полученной в результате замыкания данной линейной системы обратной связью, по известным весовым функциям данной системы и системы, включенной в цепь обратной связи, необходимо решить интегральное уравнение (83.16).

В случае физически возможных систем замкнутая система также будет физически возможной и уравнение (83.16) на основании примет вид:

Значительно проще находится весовая функция линейной системы, обратной по отношению к рассмотренной замкнутой системе. Легко сообразить, что системой, обратной по отношению к замкнутой системе, схема которой представлена на рис. 39, является параллельное соединение линейной системы, обратной по отношению к системе с весовой функцией и системы с весовой функцией (рис. 40). Следовательно, отмечая весовые функции обратных систем индексом минус вверху и) применяя формулу (83.14), получим:

Рис. 40.

Задача определения весовых функций линейных систем в общем случае очень сложна. Лишь для сравнительно простых систем весовые функции могут быть найдены аналитическими методами. Поэтому для определения весовых функций сложных линейных систем приходится пользоваться математическими машинами. В частности, для определения весовых функций линейных систем очень удобны методы моделирования. Непосредственным моделированием данной линейной системы можно определить ее весовую функцию как функцию первого аргумента при фиксированном значении второго аргумента. Между тем для вычисления реакции системы на произвольное возмущение по формулам (83.3) и (83.7) необходимо знать весовую функцию системы как функцию второго аргумента при различных (а иногда и при одном) значениях первого аргумента. Вследствие

этого определение весовой функции данной линейной системы путем непосредственного ее моделирования часто оказывается неудобным, так как требует многократного моделирования при различных значениях момента подачи на систему единичного импульса. Для того чтобы преодолеть это затруднение, обычно пользуются сопряженными системами.

Системой, сопряженной сданной линейной системой, называется такая линейная система, весовая функция которой получается из весовой функции данной системы изменением ролей аргументов. Согласно этому определению, если весовая функция данной системы равна то весовая функция сопряженной системы определится формулой

Здесь, как и везде в дальнейшем, мы отмечаем звездочкой характеристики систем, "сопряженных с данными системами. В частности, если данная линейная система характеризуется оператором то оператор сопряженной линейной системы мы будем обозначать через А и называть оператором, сопряженным с линейным оператором А.

Очевидно, что если данная система является физически возможной, то сопряженная система физически невозможна, так как на основании определения (83.19) и условия (83.6) она не может реагировать на возмущения, действующие до данного момента и наоборот, должна реагировать на все возмущения, действующие после данного момента. Однако это свойство систем, сопряженных с физически возможными системами, не препятствует их моделированию. Для моделирования системы, сопряженной с данной физически возможной линейной системой, достаточно принять за независимую пере менную отрицательное время и моделировать его реальным физическим временем (т. е. осуществить реверсирование времени). При этом одно моделирование сопряженной системы даст, очевидно, весомую функцию данной системы как функцию второго аргумента при фиксированном значении первого аргумента, что и требуется для вычисления реакции данной системы на произвольное возмущение по формуле (83.3) или (83.7). Таким образом, моделирование сопряженной системы дает весовую функцию данной системы непосредственно в том виде, в каком она нужна для практических применений. В этом заключается большое преимущество метода моделирования сопряженных систем перед методом непосредственного моделирования данных систем.

Найдем системы, сопряженные с рассмотренными выше линейными системами, осуществляющими элементарные операции алгебры и анализа. Вследствие четности -функции система, сопряженная с безынерционным усилителем, представляет собой тот же усилитель. Таким образом, безынерционный усилитель является самосопряженной

системой. Так как на основании (9.12)

то оператором, сопряженным с оператором дифференцирования по времени, является оператор дифференцирования по отрицательному времени. Точно так же из формулы

следует, что оператором, сопряженным с оператором интегрирования по времени, является оператор интегрирования по отрицательному времени. Таким образом, при моделировании сопряженных систем операторы дифференцирования и интегрирования по времени сохраняют свои функции. Далее, из равенства

Следует, что системой, сопряженной с запаздывающей системой, является экстраполятор (упредитель). При моделировании сопряженных систем с реверсированием времени запаздывающая система моделируется той же запаздывающей системой. Наконец, на основании формулы (9.12)

Отсюда следует, что линейным оператором, сопряженным с линейным дифференциальным оператором (83.5), является линейный дифференциальный оператор, определяемый формулой

Рассмотрим последовательное соединение двух линейных систем, имеющих весовые функции и найдем сопряженную систему. На основании определения (83.19) и формулы (83.8)

Сравнивая эту формулу с (83.8), приходим к заключению, что системой, сопряженной с последовательным соединением линейных систем, является последовательное соединение соответствующих сопряженных систем, взятых в обратном порядке. Это положение представлено схематически на рис. 41.

Так как система тождественного преобразования является самосопряженной, то из полученных результатов следует, что две линейные системы, сопряженные с взаимно обратными системами, также являются взаимно обратными. Это выражается математически формулой

Рис. 41.

На основании определения (83.19) и формулы (83.14) системой, сопряженной с параллельным соединением линейных систем, является параллельное соединение соответствующих сопряженных систем. Это положение выражается формулой

Мы видели, что обратной системой по отношению к замкнутой линейной системе, схема которой представлена на рис. 39, является параллельное соединение линейных систем с весовыми функциями Отсюда и из последних двух свойств сопряженных систем следует, что системой, сопряженной с замкнутой линейной системой, является замкнутая линейная система, полученная из данной системы заменой входящих в нее линейных систем соответствующими сопряженными. Это положение представлено схематически на рис. 42.

Рис. 42.

Изученные свойства сопряженных систем показывают, что для получения системы, сопряженной с данной сложной линейной системой, следует в данной системе заменить все элементарные системы соответствующими сопряженными системами и изменить направление всех связей на противоположное. При этом, как показывает рис. 42, обратные связи сохраняют свою роль, точки разветвления заменяются сумматорами, а сумматоры — точками разветвления. Это правило построения сопряженной системы, выведенное А. В. Солодовым [75, 76] и независимо от него Н. М. Сотским для произвольных линейных

систем, ранее было установлено Лэнингом и Бэттином для систем, состоящих из конечного числа безынерционных усилителей (блоков коэффициентов), сумматоров и интеграторов [94, 38]. В § 85 мы выведем правило замены сумматоров точками разветвления и наоборот, рассматривая сумматоры и точки разветвления как многомерные линейные системы.

Линейные системы могут быть как непрерывными, так и дискретными. Непрерывные линейные системы реагируют на возмущения, действующие на входах непрерывно. Дискретные системы реагируют только на возмущения, поступающие на входы в определенные моменты времени. Простейшим способом образования дискретной системы является включение перед входом данной непрерывной линейной системы импульсного устройства, вырабатывающего импульсы определенной формы и длительности, амплитуды которых равны значениям действующего входного возмущения в соответствующие моменты времени. Предположим, что импульсное устройство вырабатывает в моменты времени импульсы длительности X, форма которых характеризуется функцией Тогда на вход непрерывной линейной системы будет действовать возмущение

Подставляя это выражение в формулу (83.3) вместо получим для выходной переменной рассматриваемой линейной системы формулу

Вводя обозначение

представим формулу (83.29) в виде:

Эта формула показывает, что система, полученная путем включения импульсного устройства перед входом непрерывной линейной системы, является линейной системой, если вырабатываемые импульсным устройством импульсы пропорциональны значениям входного возмущения в моменты начала импульсов. Если импульсное устройство подает импульсы с запаздыванием то функция равна нулю при и фактическим нижним пределом интегрирования у второго интеграла формуле (83.30) будет не нуль, а

Легко видеть, что формула (83.31) является частным случаем формулы (83.3), когда

Следовательно, дискретные линейные системы могут рассматриваться как частный случай общих линейных систем, соответствующий весовым функциям, представляющим собой линейные комбинации -функций вида (83.32). На основании этого замечания все полученные выше результаты, так же как и общие результаты § 85, справедливы как для непрерывных систем, так и для дискретных.

Если включаемое перед входом непрерывной линейной системы импульсное устройство вырабатывает прямоугольные импульсы постоянной величины у, длительность которых пропорциональна значениям входного возмущения в соответствующие моменты времени, и подает их на вход линейной системы с запаздыванием на величину А, то выходная переменная рассматриваемой системы на основании формулы (83.3) будет равна:

Очевидно, что система, оператор которой выражается формулой (83.33); не является линейной. Однако если длительность импульсов очень мала, то данную систему можно приближенно рассматривать как линейную. Действительно, при очень малых весовая функция на протяжении интервала длительности одного импульса будет мало отличаться от постоянной. Вследствие этого формулу (83.33) при малых можно заменить приближенной формулой

Эта формула принимает вид (83.31), если положить

Пример. Данная линейная система состоит из колебательного звена, Замкнутого отрицательной обратной связью, содержащей запаздывающее звено (рис. 43).

Рис. 43.

Составить схему моделирования сопряженной системы и написать соответствующие уравнения.

Данная система описывается уравнением

где - запаздывание, а и -известные функции времени или постоянные. Уравнению (83.35) соответствует схема моделирования, представленная на рис. 44, где треугольниками изображены интеграторы, кружочками — усилители (блоки коэффициентов), прямоугольником — сумматор, а ромбом — запаздывающее

звено. Согласно установленному правилу изменяем направление всех связей на противоположное и сохраняем роль интеграторов, усилителей и запаздывающего звена. При этом сумматоры заменятся точками разветвления и наоборот, и мы получим схему моделирования сопряженной системы, представленную на рис. 45.

Рис. 44.

Рис. 45.

Этой схеме соответствует система уравнений:

где - отрицательное время. Полагая

и исключая приведем систему уравнений (83.36) к одному уравнению:

которое является сопряженным в уравнением (83.35).