§ 105. Применение метода статистической линеаризации для исследования точности нестационарных систем

Изложенный в предыдущем параграфе приближенный метод исследования точности стационарных систем, основанный на статистической линеаризации, является самым простым из всех известных приближенных методов исследования точности нелинейных систем. Он требует лишь немногим более сложных расчетов, чем изложенный в §§ 92 и 95 метод исследования точности стационарных линейных

систем. К сожалению, применение метода статистической линеаризации к нестационарным системам или к стационарным системам, работающим в неустановившемся режиме, оказывается значительно более сложным.

Выполняя статистическую линеаризацию всех существенно нелинейных функций, входящих в дифференциальные уравнения, и применяя после этого изложенные в §§ 101 и 102 методы обычной, линеаризации, получим для определения вероятностных характеристик интегралов рассматриваемых дифференциальных уравнений те же уравнения, которые мы получили в §§ 101 и 102. Однако эти уравнения уже не будут распадаться на ряд систем уравнений, которые можно интегрировать отдельно, так как эти уравнения будут содержать соответствующие всем существенно нелинейным функциям коэффициенты зависящие от неизвестных дисперсий аргументов существенно нелинейных функций. Вследствие этого уравнения для математических ожиданий и координатных функций интегралов дифференциальных уравнений, полученные в § 102, образуют одну систему дифференциальных уравнений, вообще говоря бесконечного порядка (в случае, если канонические разложения (102.3) случайных функций X представляют собой бесконечные ряды). Для конкретности мы проиллюстрируем сказанное на примере одного дифференциального уравнения вида:

где полином относительно оператора дифференцирования с коэффициентами, зависящими от независимой переменной а существенно нелинейная функция. К уравнению вида (105.1) приводится также уравнение

Действительно, замена переменных

приводит уравнение (105.2) к виду:

Если положить

то уравнение (105.4) примет вид (105.1). Формула (105.5) определяет линейное преобразование случайной функции дающее в результате случайную функцию Поэтому, зная математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции можно найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции пользуясь теорией линейных преобразований

случайных функций. Этим завершается приведение уравнения (105.2) к виду (165.1).

Выполняя статистическую линеаризацию функции заменим уравнение (105.1) линейным уравнением

,где зависимость коэффициентов от ту и показана явно. Согласно общей теории § 90 для составления уравнения, определяющего математическое ожидание случайной функции К, следует заменить в уравнении (105.6) все случайные функции их математическими ожиданиями. Тогда получим:

Для составления уравнений, определяющих координатные функции канонического разложения случайной функции К, следует в уравнении (105.6) отбросить все неслучайные члены и заменить случайные функции соответствующими координатными функциями их канонических разложений. В результате, предполагая, что случайная функция X представлена каноническим разложением получим уравнения

Уравнение (105.7) содержит две неизвестные функции ту, независимой переменной Число уравнений (105.8) всегда равно числу неизвестных координатных функций Поэтому систему уравнений (105.7) и (105.8) необходимо дополнить еще одним уравнением, а именно уравнением, выражающим дисперсию случайной функции К через ее координатные функции

Это уравнение вытекает из формулы (100.8) при Уравнения (105.7), (105.8) и (105.9) образуют полную систему уравнений, определяющую неизвестные математическое ожидание, дисперсию и координатные функции случайной функции К. Эта система уравнений, очевидно, является нелинейной, так как правые части всех уравнений (105.7) и (105.8) зависят от неизвестных ту и нелинейно, а правая часть уравнения (105.9) нелинейно зависит от неизвестных Таким образом, в отличие от обычных методов линеаризации метод статистической линеаризации приводит задачу определения вероятностных характеристик интегралов дифференциальных уравнений к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений. Метод статистической линеаризации не дает линеаризации самих дифференциальных уравнений, а лишь дает возможность использовать теорию линейных преобразований случайных функций для составления дифференциальных уравнений, приближенно

определяющих математическое ожидание и координатные функции интеграла данной системы дифференциальных уравнений.

Мы видим, что метод статистической линеаризации приводит задачу исследования точности динамической системы в общем случае к совместному интегрированию всех систем уравнений, определяющих математические ожидания и координатные функции выходных переменных системы. Эти системы уравнений могут быть проинтегрированы практически только с помощью быстродействующих цифровых машин. Моделирующие устройства не могут быть применены для решения этой задачи вследствие очень высокого порядка системы уравнений.

Для приближенного интегрирования системы уравнений, получаемой в результате применения метода статистической линеаризации, в частности системы уравнений (105.7), (105.8) и (105.9), можно применить метод последовательных приближений. Взяв в первом приближении какие-либо значения коэффициентов можно проинтегрировать уравнение (105.7) и уравнения (105.8) по отдельности, так же как в случае обычной линеаризации уравнений. В результате найдем в первом приближении математическое ожидание ту и координатные функции После этого можно по формуле (105.9) определить в первом приближении дисперсию Уточнив по найденным коэффициенты можно определить во втором приближении, после чего по формуле (105.9) найти во втором приближении Этот процесс можно продолжать неограниченно.

Применение метода последовательных приближений, как мы видим, позволяет заменить совместное интегрирование всех систем уравненйй, определяющих математические ожидания и координатные функции выходных переменных нелинейной системы, многократным интегрированием этих систем по отдельности.

Для определения статистических коэффициентов передачи нелинейных элементов в первом приближении можно применить следующий прием. Сначала исследуем точность данной системы для ряда моментов времени, рассматривая ее как стационарную систему (т. е. «замораживая» коэффициенты всех уравнений системы) и заменив действующие на систему нестационарные случайные возмущения стационарными случайными функциями времени, корреляционные функции и взаимные корреляционные функции которых равны соответствующим корреляционным функциям и взаимным корреляционным функциям действующих на систему нестационарных возмущений, рассматриваемым как функции разности аргументов при фиксированном значении первого аргумента (т. е. как функции интервала между данным фиксированным моментом времени и текущим последующим моментом). Это исследование можно выполнить изложенным в предыдущем параграфе методом. В результате будут определены статистические коэффициенты передачи нелинейных

элементов системы для соответствующих моментов времени. После этого можно рассматривать статистические коэффициенты передачи нелинейных элементов системы как известные функции времени и применить для определения характеристик точности системы изложенные в предыдущей главе методы исследования точности линейных нестационарных систем. В результате этого исследования будут определены математические ожидания и дисперсии входных переменных нелинейных элементов системы, после чего можно будет уточнить статистические коэффициенты передачи нелинейных элементов как функции времени и снова определить характеристики точности системы при помощи линейных методов предыдущей главы. Продолжая этот процесс последовательных приближений, можно приближенно определить характеристики точности нелинейной нестационарной системы. При этом можно будет применить любой из четырех рассмотренных в § 90 методов определения характеристик точности линейных систем и использовать как цифровые математические машины, так и машины непрерывного действия, в частности интеграторы линейных уравнений и моделирующие устройства. Этот способ исследования точности нестационарных нелинейных систем является, по-видимому, простейшим из всех известных способов исследования точности таких систем.

Заметим еще, что метод статистической линеаризации является в настоящее время единственным методом, дающим возможность приближенно исследовать точность систем, содержащих элементы с разрывными характеристиками.