ГЛАВА 15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ОПЫТОВ
§ 109. О характере задач определения вероятностных характеристик по результатам опытов
Для применения изложенных в предыдущих главах методов необходимо знать вероятностные характеристики случайных величин и случайных функций. Так, например, для исследования точности системы автоматического управления необходимо знать вероятностные характеристики действующих на нее случайных возмущений. Для определения оптимальных характеристик системы автоматического управления также необходимо знать вероятностные характеристики действующих на нее случайных возмущений. Чтобы определить необходимые вероятностные характеристики случайных величин и случайных функций естественно обратиться к опыту. Разработка рациональных методов обработки результатов наблюдений случайных величин (скалярных, векторных или функций) является основ-» ной задачей математической статистики. В задачу этой книги не входит подробное изложение методов математической статистики. Тем не менее мы не можем оставить этот вопрос в стороне, так как при исследовании систем автоматического управления вероятностными методами неизбежно приходится сталкиваться с определением вероятностных характеристик случайных величин и случайных функций по результатам опытов. Кроме того, задачи определения оптимальных систем, предназначенных для обнаружения и воспроизведения сигналов в присутствии помех, по своему характеру весьма близки к задачам математической статистики и являются их обобщением и развитием. Поэтому мы дадим здесь краткое изложение основных методов определения вероятностных характеристик по результатам опытов. При этом без потери общности можно ограничиться методами определения вероятностных характеристик действительных случайных величин и случайных функций, так как вероятностные характеристики комплексных случайных величин и функций весьма просто выражаются через соответствующие вероятностные характеристики их действительных и мнимых частей.
В основе экспериментальных методов определения вероятностей событий и вероятностных характеристик случайных величин лежит закон больших чисел. Согласно закону больших чисел, при большом числе опытов вероятности событий могут быть заменены соответствующими частотами, а математические ожидания случайных величин — их средними арифметическими значениями. При очень большом числе опытов можно быть практически уверенным в том, что полученные таким образом вероятности событий и характеристики случайных величин близки к их истинным значениям. Однако на практике часто приходится ограничиваться сравнительно небольшим или даже малым числом опытов (наблюдений), особенно в тех случаях, когда каждый опыт требует много времени и больших материальных затрат. Такое положение особенно часто встречается в артиллерийской и авиационной практике, когда опыты связаны со стрельбой и полетами. Для определения характеристик случайных величин по результатам небольшого числа опытов приходится пользоваться теми же формулами, которые применяются при большом числе опытов. Однако в этом случае приходится дополнительно ставить задачу оценки точности получаемых из опыта характеристик.
В § 6 было дано определение независимых опытов. Сейчас мы уточним это понятие, имея в виду, что результаты опытов могут характеризоваться как качественно, так и количественно. Мы будем называть опыты независимыми, если вероятности наблюдаемых событий и вероятностные характеристики наблюдаемых случайных величин в каждом опыте не зависят от результатов других опытов. Мы будем говорить, что опыты производятся в одинаковых условиях, если вероятности наблюдаемых событий и законы распределения наблюдаемых случайных величин не изменяются от опыта к опыту.
Так как результаты каждого отдельного опыта случайны, то очевидно, что вероятности событий и вероятностные характеристики случайных величин не могут быть точно определены по результатам конечного числа опытов. Нельзя говорить и о приближенном в обычном смысле определении вероятностей событий и характеристик случайных величин, так как обычное понятие приближенного решения задачи подразумевает принципиальную возможность найти достоверную оценку погрешности, в то время как в статистических задачах можно говорить только о вероятности того, что погрешность не превзойдет данных пределов. Поэтому в статистике обычно говорят не о приближенных значениях искомых величин, а об их оценках. Общая задача теории статистической обработки опытов заключается в нахождении таких функций результатов опытов, которые могут быть приняты за искомые вероятности событий и характеристики случайных величин.
Всякая функция результатов опытов, которая может быть приняла за искомую вероятностную характеристику, называется оценкой
этой характеристики. Если математическое ожидание оценки совпадает с искомой характеристикой, то оценка называется несмещенной. Если же математическое ожидание оценки не совпадает с искомой характеристикой, то оценка называется смещенной. Мы будем обозначать оценки вероятностных характеристик, вычисленные по конкретным результатам опытов, соответствующими малыми буквами со звездочкой. Оценки как случайные величины — функции случайных результатов опытов — будем обозначать соответствующими большими буквами со звездочкой.
