ГЛАВА 14. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§ 99. Методы исследования точности нелинейных систем

Изложенная в предыдущей главе теория линейных преобразований случайных функций и основанные на ней методы исследования точности линейных систем дают возможность принципиально точно определять математические ожидания и корреляционные функции выходных переменных любых линейных систем по данным математическим ожиданиям и корреляционным функциям входных случайных возмущений. Ввиду того, что особенно широкое распространение на практике получили нелинейные системы, теория автоматического управления выдвигает перед теорией случайных функций также задачу определения вероятностных характеристик случайных функций, полученных в результате нелинейного преобразования случайных функций, имеющих известные вероятностные характеристики.

Во многих практических зядачах отклонения случайных функций от их математических ожиданий бывают настолько малыми, что данное нелинейное преобразование мало отличается от линейного в области практически возможных реализаций случайных функций. В этом случае, так же как и в соответствующих задачах, рассмотренных в главе 5, для приближенного определения математических ожиданий и корреляционных функций случайных функций, полученных в результате преобразования, можно применить метод линеаризации, который дает возможность использовать теорию линейных преобразований случайных функций. Благодаря методу линеаризации теория линейных преобразований случайных функций может во многих случаях служить для приближенного исследования точности нелинейных систем автоматического управления.

Так, например, если характеристики всех элементов нелинейной системы представляют собой плавные кривые, отрезки которых при всех возможных случайных колебаниях входных величин в каждый данный момент могут быть с достаточной точностью заменены соответствующими прямолинейными отрезками, то в результате такой замены нелинейная система заменится приблизительно равноценной

ей линейной системой (т. е. будет линеаризована) и к ней можно будет применить изложенные в предыдущей главе методы исследования точности линейных систем.

Теория точности линейных систем может во многих случаях применяться и к исследованию точности систем, содержащих существенно нелинейные элементы, например релейные элементы с разрывными характеристиками, элементы с ограниченной зоной линейности и т. п. Теорию точности линейных систем можно применять практически во всех случаях, когда флуктуации входных величин всех нелинейных элементов системы остаются малыми при всех возможных флуктуациях входных возмущений (т. е. когда дисперсии входных величин всех нелинейных элементов системы малы). Физически это означает, что система обладает достаточно большим быстродействием, чтобы парировать все возможные флуктуации входных возмущений (отрабатывать их) и поддерживать с достаточной точностью заданные постоянные или переменные значения входных величин всех нелинейных элементов системы. Иными словами, действующие на систему случайные возмущения не содержат в своем спектре таких больших частот, которые не могут обрабатываться системой.

В качестве примера существенно нелинейной системы, к которой можно применять теорию точности линейных систем, можно привести следящую систему, содержащую один нелинейный элемент, выходной сигнал которого управляет исполнительным устройством. Входным сигналом нелинейного элемента подобной следящей системы служит сигнал ошибки, т. е. разность между входным возмущением и выходной переменной системы. Если исполнительнее устройство системы обладает достаточным быстродействием, чтобы выходная переменная системы хорошо следила за всеми возможными флуктуациями входного возмущения, то входная величина нелинейного элемента будет все время близка к нулю. Система будет успевать отрабатывать все возможные флуктуации входного возмущения. То же будет и в том случае, когда исполнительное устройство системы не обладает большим быстродействием, но флуктуации входного возмущения являются достаточно медленными для того, чтобы система успевала их отрабатывать. Таким образом, для применимости линейной теории необходимо лишь, чтобы исполнительное устройство следящей системы обладало большой скоростью отработки по сравнению с наибольшей возможной скоростью изменения входного возмущения. Если входное возмущение содержит случайные флуктуации большой частоты, которые не успевают отрабатываться исполнительным устройством системы и амплитуда которых велика по сравнению с зоной линейности характеристики нелинейного элемента, то сигнал ошибки будет совершать случайные колебания большой амплитуды, выходной сигнал нелинейного элемента будет беспорядочно колебаться между крайними пределами, и исполнительное устройство не будет успевать следить за этими колебаниями. В результате исполнительное

устройство не будет реагировать на значения сигнала ошибки до тех пор, пока сигнал ошибки не превысит известную величину, зависящую от амплитуды случайных колебаний входного сигнала нелинейного элемента и от характеристики нелинейного элемента. Нелинейный элемент будет «забит» флуктуациями и не будет передавать сигнал ошибки на исполнительное устройство, если сигнал ошибки недостаточно велик. В подобных случаях непосредственная линеаризация нелинейной системы невозможна, так как она не учитывает физическую картину совместного прохождения полезного сигнала и флуктуаций через нелинейные элементы.

Приведенный пример показывает, что теория точности линейных систем может в некоторых случаях служить и для исследования точности систем с существенно нелинейными элементами, несмотря на то, что формальная линеаризация подобных систем обычными математическими приемами невозможна. Здесь мы встречаемся с примером физической линеаризации системы, т. е. линеаризации по физическому смыслу. Физическая линеаризация системы с нелинейными элементами может быть произведена, например, принятием допущения, что дисперсии входных сигналов всех нелинейных элементов системы равны нулю, если быстродействие системы достаточно велико для того, чтобы эти дисперсии были достаточно малыми.

Приведенный пример показывает также, что в теории автоматического управления могут встретиться случаи, когда обычная линеаризация системы, математическая или по физическому смыслу, оказывается неприменимой. Примерами подобных случаев могут служить динамические системы с существенно нелинейными элементами, не обладающие достаточным быстродействием для того, чтобы дисперсии входных величин всех нелинейных элементов были малыми. В подобных случаях для приближенного определения математических ожиданий и корреляционных функций выходных переменных системы можно применить метод статистической линеаризации, разработанный И. Е. Казаковым [23—25] и Бутоном [81, 82]. Метод статистической линеаризации основан на замене всех существенно нелинейных элементов системы такими линейными элементами, которые в известном смысле статистически равноценны нелинейным элементам. Статистическая линеаризация также является примером физической линеаризации, когда каждый нелинейный элемент системы заменяется таким линейным элементом, который равноценен нелинейному элементу с точки зрения совместной передачи полезного сигнала и флуктуаций при данном статистическом характере флуктуаций на входе нелинейного элемента. Вследствие того, что статистическая линеаризация приближенно учитывает физическую картину совместного прохождения полезного сигнала и флуктуаций через нелинейные элементы, она дает возможность применить теорию точности линейных систем для приближенного исследования точности систем с существенно

нелинейными элементами. Таким образом, метод статистической линеаризации значительно расширяет область практического применения теории точности линейных систем.

Для определения вероятностных характеристик выходных переменных нелинейных систем с большей точностью, чем могут дать методы линеаризации, обычной или статистической, недостаточно знать математические ожидания и корреляционные функции входных возмущений. Необходимо знать также моменты высших порядков или многомерные законы распределения входных возмущений.

Задача точного вероятностного исследования нелинейных систем чрезвычайно сложна. Общей теории нелинейных преобразований случайных функций пока еще не существует. Точное статистическое исследование возможно в настоящее время только для некоторых классов нелинейных систем, например для систем, представляющих собой последовательное соединение безынерционного нелинейного элемента, осуществляющего функциональное преобразование текущих значений входных возмущений, и линейной системы. В этом случае, применяя последовательно обычные методы теории функциональных зависимостей между случайными величинами, изложенные в главе 5, и теорию точности линейных систем, можно принципиально точно определить математические ожидания, корреляционные функции и моменты выходных переменных системы. Для более сложных нелинейных систем, особенно для систем, содержащих нелинейные элементы в цепях обратной связи или в цепях, охваченных обратной связью, существуют лишь приближенные методы статистического исследования.