§ 5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Если несовместные события, образующие полную группу, то есть достоверное событие и

Отсюда, пользуясь формулой (4.5), найдем:

Эта формула обычно называется формулой полной вероятности.

На основании формул (4.5) и (5.2) условная вероятность события относительно А может быть выражена формулой:

Эта формула носит название формулы Бейеса и применяется для решения следующей задачи производится опыт, в результате которого появляется некоторое событие для которого известны условные вероятности относительно несовместных событий образующих полную группу, причем вероятности событий до опыта (априорные вероятности) известны; требуется определить вероятности событий после опыта (апостериорные вероятности), которые, очевидно, представляют собой условные вероятности событий относительно события А.

Пример 1. Из трех одинаковых пистолетов выбирается наудачу один, и из него производится выстрел. Вследствие разницы в пристрелке пистолетов вероятность попадания в цель для первого пистолета равна 0,75, для второго — 0,85 и для третьего — 0,05. Найти вероятность попадания в цель <полную).

В данном случае событиями являются выбор первого, второго, третьего пистолета. Так как пистолеты не имеют видимых отличий друг от друга, которые позволили бы заранее определить, при стрельбе из какого пистолета вероятность попадания больше, то события до опыта следует признать равновероятными и принять:

Условные вероятности попадания А относительно по условию равны:

Подставляя значения вероятностей в формулу (5.2), найдем полную вероятность попадания в цель:

Пример 2. Предположим, что в условиях предыдущего примера в результате выстрела произошло попадание в цель. Найти вероятности того, что был взят первый, второй, третий пистолет.

Подставляя значения вероятностей в формулу (5.3), найдем вероятности того, что выстрел был сделан из первого, второго, третьего пистолета: