§ 131. Другие варианты метода определения оптимальной линейной системы в случае, когда входное возмущение связано с белым шумом линейным дифференциальным уравнением

Изложенный в предыдущем параграфе метод определения оптимальной линейной системы удобен в тех случаях, когда известны весовые функции Особенно он удобен при аналитическом определении весовой функции оптимальной линейной системы. При применении численных методов или моделирования удобнее опираться на интегрирование дифференциальных уравнений, а на вычисление квадратур. Поэтому для определения весовой функции оптимальной линейной системы численными методами или при помощи моделирования целесообразно применить другие варианты изложенного в предыдущем параграфе метода, основанные на интегрировании дифференциальных уравнений (130.10) и (130.11).

Функции и в методе предыдущего параграфа определяются в результате интегрирования уравнения (130.15). Для интегрирования этого уравнения можно применить численные методы или моделирующие устройства. Формула (130.22) определяет функции как интегралы уравнения (130.10), в котором функция заменена соответствующими функциями Для интегрирования уравнения (130.10) численными методами или при помощи моделирующих устройств его удобно заменить системой дифференциальных

уравнеиий первого порядка. Для этого, как было показано в § 85, достаточно ввести новые переменные

где

Тогда получим систему уравнений

Для определения функций и их производных необходимо заменить в уравнениях (131.3) функцию I соответствующими функциями Тогда получим систем уравнений:

Формула (130.16) определяет такой интеграл уравнения (130.10), который тождественно равен нулю в интервале тогда и только тогда, когда функция тождественно равна нулю в этом интервале. Для нахождения такого интеграла системы уравнений (131.4) необходимо интегрировать ее при начальных условиях

На основании формул (131.1) первые переменных совпадают с функциями

Таким образом, проинтегрировав системы уравнений (131.4) в интервале мы найдем функции и их производные, входящие в уравнения (130.30). Определив функции мы получаем на основании формулы (130.19) следующее выражение интересующего нас интеграла системы уравнений (131.3) в интервале

При эта формула определяет функцию и ее производные до порядка в интервале Перейдем теперь к определению функций в интервале 5 — путем интегрирования уравнений (130.10) и (130.11).

Пусть какие-нибудь линейно независимые интегралы уравнения

а какой-нибудь частный интеграл уравнения (130.10):

Тогда общий интеграл уравнения (130.10) в интервале выразится формулой

где произвольные постоянные.

Обозначим теперь через интегралы уравнений

удовлетворяющие граничным условиям

Через обозначим интеграл уравнения

удовлетворяющий тем же граничным условиям

Тогда интеграл уравнения (130.11), удовлетворяющий граничным условиям (130.12), выразится формулой

Формулы (131.10) и (131.15) определяют функции в интервале с точностью до неопределенных постоянных Таким образом, интегрирование уравнений (130.15) и (130.10) в интервале и уравнений (130.10) и (130.11) в интервале дает выражения функций в соответствующих интервалах, содержащие неопределенных постоянных Для определения этих постоянных мы имеем, согласно изложенному в предыдущем параграфе, условий непрерывности функций условий непрерывности функций в точке Условие непрерывности на основании формул (130.18) и (131.15) дает уравнения

Условие непрерывности дает уравнения (130.30), которые на основании формул (131.1) и (131.7) принимают вид:

Условий непрерывности функций и их производных (130.29) и (130.30) в предыдущем параграфе было достаточно для определения всех неизвестных постоянных. Применение формул (130.9) и (130.7) позволило нам избежать ввода дополнительных неопределенных постоянных которые появились при определении функций в интервале путем интегрирования уравнений (130.10) и (130.11). В данном случае необходимо найти еще уравнений, для того чтобы можно было определить все неизвестные постоянные. Чтобы найти необходимые дополнительные уравнения, заметим, что уравнение (130.10) должно удовлетворяться не только в интервалах но и в точке Это значит, что коэффициенты при -функции и ее производных в правой и левой частях уравнения (130.10) в точке должны быть одинаковыми. В предыдущем параграфе было показано, что уравнение (130.10) содержит -функцию и ее производные, соответствующие точке до порядка включительно. Следовательно, условие равенства коэффициентов при -функциях дает как раз недостающие уравнений. В предыдущем параграфе это условие было автоматически удовлетворено вследствие того, что формула (130.9) определяет функции имеющие как раз такие разрывы, при которых коэффициенты при -функциях в левой и правой частях уравнения одинаковы.

Для вывода уравнений, вытекающих из условия разенства коэффициентов при -функциях в уравнении (130.10), можно воспользоваться формулой

применив для вычисления двух входящих в нее интегралов формулу (84.27). Однако в нашем случае, когда мы заменили уравнение (130.10) равноценной системой уравнений первого порядка (131.3), недостающие уравнения можно получить гораздо проще. Для этого достаточно заметить, что интеграл системы уравнений (131.3) должен быть непрерывным в точке вследствие того, что функция не может содержать -функцию и ее производные. Условие непрерывности первых переменных дает уравнения (131.17), уже полученные ранее. Условие непрерывности остальных переменных дает недостающие уравнений.

В интервале интеграл системы уравнений (131.3) выражается формулой (131.7). Для того чтобы найти выражение функций в интервале перепишем формулу (131.1) Для виде:

Подставляя сюда и в первые формул (131.1) выражение функции и выражение (131.10) функции в интервале получим:

Условие непрерывности переменных в точке дает на основании формул (131.7) и (131.20) полученные ранее уравнения (131.17), Условие непрерывности переменных

в точке дает уравнения

Определив величины путем решения системы линейных алгебраических уравнений (131.16), (131.17) и (131.22), мы полностью определим функции после чего по формуле (130.8) найдем искомое решение интегрального уравнения (125.7).

Изложенный вариант метода решения интегрального уравнения (125.7) на первый взгляд обладает тем недостатком по сравнению с вариантом предыдущего параграфа, что он требует решения системы линейных алгебраических уравнений, в то время как вариант предыдущего параграфа приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений. Однако этот недостаток легко устраняется соответствующим выбором частных интегралов уравнений (130.15) и (131.8), которые до сих пор оставались совершенно произвольными. При определении весовой функции оптимальной линейной системы в аналитической форме возможность произвольно выбирать линейно независимые частные интегралы уравнения (130.15), даваемая методом предыдущего параграфа, имеет очень большое значение, так как при решении задачи аналитическими методами обычно бывает выгодно брать интегралы уравнения (130.15), имеющие простейшую форму. При решении задачи численными методами или при помощи математических машин выбор частных интегралов уравнений обычно бывает совершенно безразличен.

Если взять частные интегралы уравнения (130.15), удовлетворяющие условиям

то уравнения (131.16) будут иметь вид:

Для того чтобы уравнения (131.16) имели вид (131.24), достаточно, чтобы условиям (131.23) удовлетворяли функции и их производные до порядка включительно (т. е. чтобы условия (131.23)

удовлетворялись при Значения в точке производных функций порядка и выше можно взять произвольно, лишь бы функции были линейно независимыми. Подставляя выражения (131.24) величин в уравнения (131.17) и (131.22), мы исключим и получим систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными После решения этой системы уравнений остальные неизвестные определятся по формуле (131.24). При этом, для того чтобы уравнения (131.22) были по возможности проще, выгодно взять частные интегралы уравнения (131,8), удовлетворяющие начальным условиям

и частный интеграл уравнения (131.9), удовлетворяющий нулевым начальным условиям

Тогда уравнения (131.22) примут вид:

Вариант излагаемого метода определения оптимальной линейной системы, основанный на использовании уравнений (131.17), (131.27) и (131.24), был разработан Лэнингом [38].

Другой возможный способ упрощения вычислений основан на таком выборе частных интегралов уравнения (131.8), чтобы уравнения (131.22) оказались решенными относительно величин Для этого достаточно взять частные интегралы уравнения (131.8), удовлетворяющие условиям

При этом целесообразно взять частный интеграл уравнения (131.9), удовлетворяющий нулевым начальным условиям (131.26). Тогда уравнения (131.22) примут вид:

Подставляя эти выражения величин в уравнения (131.16), мы исключим неизвестные После этого уравнения (131.16) и (131.17) будут представлять собой систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными Решив эту систему уравнений, найдем остальные неизвестные по формуле (131.29).

Для того чтобы найти начальные условия для интегралов уравнения (131.8), удовлетворяющие уравнениям (131.28), рассмотрим сначала уравнения (131.28), соответствующие

Эти уравнения дают начальные значения интегралов

Для определения начальных значений первых производных интегралоз рассмотрим уравнения (131.28), соответствующие

Отсюда находим:

Продолжая таким образом, получаем общие рекуррентные формулы для начальных значений производных интегралов

Формулы (131.31) и (131.34) полностью определяют начальные условия для необходимых нам линейно независимых частных интегралов уравнения (131.8). Выбор частных интегралов уравнения (130.15) для этого варианта излагаемого метода, в отличие от предыдущего

варианта, безразличен. В частности, можно взять интегралы уравнения (130.15), удовлетворяющие условиям (131.23).

Итак, решение интегрального уравнения (125.7) изложенным методом сводится к нахождению интегралов уравнения (130.15), интегрированию систем уравнений (131.4), нахождению интегралов уравнения (131.8), интегрированию уравнений (131.9), (131.11) и (131.13) и определению величин из уравнений (131.17), (131.27) и (131.24) или из уравнений (131.16), (131.17) и (131.29). После этого решение уравнения (125.7) определяется формулой (130.31), в которой функция, непрерывная вместе со своими производными до порядка включительно, определяемая формулой (131.15) в интервале а коэффициенты при -функциях определяются формулами (130.32). При этом разрывы производных функции в точках на основании (130.18) и (131.15) определяются формулами

При нахождении интегралов уравнений (131.11) и (131.13), удовлетворяющих условиям (131.12) и (131.14), численными методами или с помощью моделирующих устройств необходимо начинать интегрирование в точке и вести его в сторону убывания переменной до точки Точно так же при нахождении интегралов уравнения (130.15), удовлетворяющих условиям (131.23), численными методами или моделированием необходимо начинать интегрирование в точке и вести его в сторону убывания до точки

Еще один вариант изложенного метода решения интегрального уравнения (125.7) можно получить, определив функцию в интервале интегрированием дифференциального уравнения

которое получается из уравнений (130.10) и (130.11) исключением Обозначим через какие-нибудь линейно независимые интегралы однородного уравнения

а через какой-нибудь частный интеграл уравнения (131.36). Тогда, подставив в формулу (130.31) выражение общего интеграла уравнения (131.36), получим:

где - неизвестные постоянные интегрирования. Формула (131.38) дает аналитическое выражение решения уравнения (125.7) с неизвестными коэффициентами Для определения этих коэффициентов достаточно подставить выражение (131.38) в уравнение (125.7) и потребовать, чтобы оно обращалось в тождество. В результате получим необходимое количество уравнений для определения всех неизвестных постоянных, включая и те неопределенные постоянные, которые входят в выражение частного интеграла уравнения (131.36). Само собой разумеется, что этот вариант метода решения уравнения (125.7) пригоден только для нахождения решения в аналитической форме, когда все получающиеся в результате подстановки выражения (131.38) в уравнение (125.7) интегралы выражаются при помощи известных функций.

Пример. Для иллюстрации изложенных вариантов метода решения уравнения (125.7) применим их для решения примера 2 предыдущего параграфа.

В данном случае мы имеем уравнение (131.8) и его частный интеграл:

уравнение (131.9) и его частный интеграл:

уравнение (131.11) и его частный интеграл, удовлетворяющий условию (131.12):

уравнение (131.13) и его частный интеграл, удовлетворяющий условию (131.14):

Формулы (131.1), (131.2), (131.6), (130.60) и (130.61) дают:

На основании формул (130.59) и (131.39) — (131.43) уравнения (131.16), (131.17) и (131.22), определяющие неизвестные величины имеют в данном случае вид:

Определив из этих уравнений, находим функцию по формуле (131.15), которая имеет в данном случае вид:

Подставляя это выражение в (130.31) и пользуясь формулами (131.41) и (131.42) для получим ту же формулу (130.73), которую мы имели в примере 2 предыдущего паоаграфа.

Если взять частные интегралы уравнения (130.58), удовлетворяющие условиям (131.23), вместо интегралов (130.59):

то первое уравнение (131.44) упростится и даст непосредственное выражение через Подставив это выражение в остальные уравнения (131.44), получим систему двух уравнений с двумя неизвестными

Точно так же, взяв интеграл уравнения (131.39), удовлетворяющий условиям (131.31):

мы получим в третьем уравнении (131.44) коэффициент при равный единице. Подставив выражение из этого уравнения в первое уравнение (131.44), получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и

В обоих случаях третье уравнение (131.44) еще несколько упростится, если взять интеграл уравнения (131.40), удовлетворяющий нулевым начальным условиям (131.26):

В данном случае и поэтому упрощение, достигаемое за счет специального выбора частных интегралов уравнений (131.39) и (131.40), незначительно. Однако в более сложных случаях, когда велико, это упрощение может быть весьма существенным.

Решение уравнения (125.7) в данном случае может быть получено и непосредственной подстановкой выражения (130.73) с неопределенными коэффициентами и соответствующего выражения корреляционной функции в уравнение (125.7). Потребовав, чтобы при этом уравнение (125.7) обращалось в тождество относительно получим систему пяти линейных алгебраических уравнений для определения

Выражения и в данном случае представляют собой частные интегралы уравнения (131.37), а выражение частный интеграл уравнения (131.36).