§ 26. Выражение плотности вероятности через характеристическую функцию

Согласно определению (25.1) характеристической функции каждому распределению вероятностей соответствует одна вполне определенная характеристическая функция. Справедливо и обратное утверждение: распределение вероятностей вполне определяется характеристической функцией. Это следует из формулы

выражающей плотность вероятности случайной величины через ее характеристическую функцию. Формулу (26.1) точнее следовало бы записать в виде:

Однако формула (26.1) компактнее и ею можно пользоваться, если понимать интеграл в бесконечных пределах, как указывает формула (26.2).

Для вывода формулы (26.1) рассмотрим интеграл

Подставляя сюда выражение (25.2) характеристической функции, получим:

Так как плотность вероятности положительна и интегрируема в бесконечных пределах, а при любых действительных то интеграл по переменной в (26.4) сходится равномерно относительно X в любом интервале изменения Поэтому интегрирование по переменной X можно выполнить под знаком интеграла по ([74], т. II, гл. III, § 3). Тогда получим:

Возьмем теперь настолько малое положительное число чтобы плотность вероятности была монотонна в каждом из интервалов Разобьем область интегрирования в (26.5) на четыре части: и применим к интегралам по второй и третьей частям вторую теорему о среднем ([74], т. II, гл. VI, § 3). Тогда после замены переменных перехода к пределу при получим:

Последний интеграл выражается известной из анализа формулой ([74], т. II, гл. III, § 3):

Поэтому формулы (26.3) и (26.6) равноценны формуле

Эта формула показывает, что формула (26.2) справедлива во всех точках непрерывности плотности вероятности так как в любой точке непрерывности Если плотность вероятности в точке разрыва первого рода принять равной полусумме ее пределов справа и слева в этой точке, то формула (26.2) будет справедливой и во всех точках разрыва первого рода плотности вероятности, а также в таких точках разрыва, в которых одна или обе величины бесконечны. Если плотность вероятности ведет себя как -функция в точке то, полагая

где функция, интеграл от которой по бесконечно малому интервалу, заключающему точку бесконечно мал, найдем по формуле (25.2):

Подставляя это выражение в (26.3), будем иметь:

и

Из формул (26.11) и (26.12) следует, что функция при обращается в бесконечность в точке а интеграл от нее по сколь угодно малому интервалу стремится к при Аналогично доказывается, что интеграл от функции по сколь угодно малому интервалу стремится к

при Таким образом, предел функции при ведет себя в точке точно так же, как плотность вероятности Следовательно, формула (26.2) справедлива и в точках, в которых плотность вероятности ведет себя как -функция. Формулы (25,2) и (26.1) означают, что плотность вероятности и характеристическая функция являются по отношению друг к другу преобразованиями Фурье Интегрируя формулу (26.1) от до х, получим выражение функции распределения случайной величины X через ее характеристическую функцию:

Эту формулу следует понимать как сокращенную запись более точной формулы:

которая получается интегрированием формулы (26.2).

Полагая в и вычитая второе из полученных равенств из первого, будем иметь:

Интегрируя это равенство по в пределах от до , получим:

Для более строгого доказательства формулы (26.16) достаточно подставить в правую часть этой формулы выражение (25.2) характеристической функции и, учитывая равномерную относительно X сходимость интеграла (25.2), выполнить интегрирование по X под знаком интеграла. Достоинством формулы (26.16) является то, что интеграл в ней сходится абсолютно.