ГЛАВА 9. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 56. Два вида канонических представлений случайных функций

Мы видели в предыдущей главе, что случайная функция представляет собой математический объект большой сложности. В общем случае ее можно трактовать как несчетное множество скалярных случайных величин. Естественно возникает мысль попытаться выразить случайную функцию через более простые случайные объекты, например через обычные скалярные случайные величины. На основании изученных в §§ 19 и 20 свойств математических ожиданий, дисперсий и корреляционных моментов простейшей с практической точки зрения формой выражения случайной функции через случайные величины является представление ее в виде линейной комбинации некоррелированных случайных величин, имеющих равные нулю математические ожидания. Таким образом, мы приходим к задаче представления любой случайной функции в виде:

где некоррелированные случайные величины, математические ожидания которых равны нулю, некоторые (не случайные) функции. Отдельные слагаемые вида мы будем называть элементарными случайными функциями. Всякое представление случайной функции в виде суммы ее математического ожидания и некоррелированных элементарных случайных функций мы будем называть каноническим разложением случайной функции. Случайные величины будем называть коэффициентами канонического разложения, а функции координатными функциями канонического разложения. Каноническое разложение случайной функции в общем случае представляет собой бесконечный ряд. В частных случаях оно может быть конечной суммой.

Выразив случайную функцию X каноническим разложением (56.1), можем применить для вычисления ее корреляционной функции как

корреляционного момента величин формулу (20.24). Тогда получим:

где дисперсии случайных величин Всякое представление корреляционной функции формулой вида (56.2) мы будем называть каноническим разложением корреляционной функции. Таким образом, из канонического разложения (56.1) случайной функции X следует каноническое разложение (56.2) ее корреляционной функции. В § 65 мы увидим, что и наоборот, из канонического разложения (56.2) корреляционной функции вытекает каноническое разложение (56.1) случайной функции. Полагая в и принимая во внимание (49.10), получим следующую формулу для дисперсии случайной функции X:

Можно также попытаться выразить произвольную случайную функцию через более простую случайную функцию — белый шум. Таким образом, мы приходим к задаче представления случайной функции X в виде:

где белый шум параметра некоторая (не случайная) функция аргумента и параметра Представление случайной функции формулой вида (56.4) вполне аналогично каноническому разложению (56.1). Роль некоррелированных элементарных случайных функций в данном случае играют бесконечно малые некоррелированные элементарные случайные функции Всякое выражение случайной функции через некоторый белый шум формулой вида (56.4) мы будем называть интегральным каноническим представлением случайной функции. Функции аргумента при различных фиксированных значениях параметра X в области будем называть координатными функциями интегрального канонического представления.

Выразив случайную функцию X интегральным каноническим представлением (56.4), можем применить для вычисления ее корреляционной функции формулу (54.7). В результате получим:

где интенсивность белого шума Всякое представление корреляционной функции в виде интеграла (56.5) мы будем называть интегральным каноническим представлением

корреляционной функции. Мы видим, что интегральному каноническому представлению (56.4) случайной функции соответствует интегральное каноническое представление (56.5) ее корреляционной функции [92]. Карунен показал, что и наоборот, интегральному каноническому представлению (56.5) корреляционной функции соответствует интегральное каноническое представление (56.4) случайной функции. Полагая в получим на основании (49.10) формулу для дисперсии случайной функции X:

Последовательность некоррелированных случайных величин можно рассматривать как дискретный (импульсный) белый шум. Тогда каноническое разложение (56.1) случайной функции X можно будет трактовать как выражение ее через импульсный белый шум. При такой трактовке оба вида канонических представлений случайной функции объединяются и проблему нахождения канонического представления случайной функции можно рассматривать как проблему ее выражения через белый шум. В зависимости от того, какой белый шум взят за основу, дискретный или непрерывно действующий, получается каноническое разложение или интегральное каноническое представление случайной функции.

Канонические представления случайных функций очень удобны для выполнения различных операций анализа над случайными функциями, особенно линейных. Объясняется это тем, что в каноническом представлении случайной функции ее зависимость от аргумента выражается при помощи вполне определенных, не случайных координатных функций, что дает возможность свести выполнение различных линейных операций над случайными функциями (например, дифференцирование, интегрирование, решение линейных дифференциальных уравнений и т. д.) к соответствующим операциям над неслучайными координатными функциями, т. е. к обычным операциям анализа. Особенно важное значение канонические представления имеют для приложений теории случайных функций к решению задач обнаружения и воспроизведения сигналов в присутствии помех. В этой области метод канонических представлений случайных функций оказывается универсальным методом, который позволяет объединить все известные методы решения подобных задач в стройную теорию и развивать эту теорию дальше.

Удобство и практическое значение канонических представлений случайных функций дает основание поставить вопрос о возможности нахождения канонических представлений для любой случайной функции, а также вопрос о практических способах нахождения канонических представлений (хотя бы приближенных). Решением этих вопросов мы сейчас и займемся.