§ 120. Общее условие минимума средней квадратической ошибки

При каждом данном значении аргумента сигнал и его оценка являются обычными скалярными случайными величинами. Поэтому задача определения оптимальной оценки сигнала

по критерию минимума средней квадратической ошибки сводится к рассмотренной в § 24 задаче квадратического приближения случайной величины. Приближаемой случайной величиной в данном случае является значение сигнала при фиксированном значении аргумента Множеством в данном случае является множество случайных величин, полученных путем преобразования наблюдаемой случайной функции всеми операторами того класса операторов в котором необходимо найти оптимальный оператор. Для того чтобы это множество случайных величин было линейным пространством, необходимо и достаточно, чтобы класс операторов представлял собой линейное пространство. В терминах автоматики это условие означает, что класс систем, среди которых ищется оптимальная система, должен содержать все возможные параллельные соединения входящих в этот класс систем с подключенными последовательно к их выходам безынерционными усилителями (рис. 74).

Рис. 74.

Полагая в (24.11)

где В — произвольный оператор класса операторов получим общее условие оптимальности оператора А:

По доказанному в § 24 выполнение равенства (120.2) для всех операторов В класса необходимо и достаточно, если класс операторов представляет собой линейное пространство.

Если в классе существуют два оператора удовлетворяющие (120.2), то, полагая в получим:

или

Это равенство означает, что оператор принадлежащий классу вследствие того, что по условию является линейным пространством, преобразует наблюдаемую функцию в тождественный нуль. Следовательно, все операторы

принадлежат классу и удовлетворяют условию (120.2). Таким образом, если в классе существуют два различных оператора удовлетворяющие условию (120.2), то в классе существует бесчисленное множество операторов, удовлетворяющих условию (120.2). Эти операторы определяются формулой (120.5), и всем им соответствует одна и та же средняя квадратическая ошибка. Иными словами, в любом классе операторов, представляющем собой линейное пространство, может существовать или единственный оптимальный оператор, или бесчисленное множество оптимальных операторов, которым соответствует одна и та же средняя квадратическая ошибка. Применительно к задачам автоматики это означает, что в данном классе систем может существовать или единственная оптимальная система, или бесчисленное множество оптимальных систем, имеюших одинаковые средние квадратические ошибки. В последнем случае класс содержит бесчисленное множество систем, выходные переменные которых тождественно равны нулю при действии на входе наблюдаемой случайной функции В этом случае любая система, полученная параллельным соединением какой-нибудь одной оптимальной системы и любой системы, преобразующей наблюдаемую функцию в тождественный нуль, также является оптимальной. Следует, однако, заметить, что теоретически возможный случай, когда существует бесчисленное множество оптимальных систем, вряд ли может часто встречаться на практике, так как только при очень специальном характере наблюдаемой функции могут существовать такие системы, которые преобразуют ее в тождественный нуль (см. § 136).

Пример 1. Класс всех линейных систем представляет собой линейное пространство, так как параллельное соединение любых линейных систем и последовательное соединение линейной системы и безынерционного усилителя с постоянным коэффициентом усиления являются линейными системами. Класс всех стационарных линейных систем также является линейным пространством.

Пример 2. Класс всех интегральных операторов вида (107.1) представляет собой линейное пространство, так как для любой функции

и, полагая

мы приводим выражение (120.6) к виду (107.1).

Совершенно так же доказывается, что класс интегральных операторов соответствующих данному фиксированному числу является линейным пространством.

Пример 3. Класс операторов типа (106.26), приводимых к линейным, соответствующих данным фиксированным функциям и всем возможным линейным операторам очевидно, является линейным пространством.

Точно так же класс операторов типа (106.26), соответствующих данным фиксированным операторам и всем возможным функциям является линейным пространством.

Пример 4. Множество всех еозможных систем, имеющих одну и ту же входную случайную функцию является линейным пространством, так как параллельное соединение любых таких систем с подключенными последовательно к выходам безынерционными усилителями также представляет собой систему, имеющую входную случайную функцию

Пример 5. Класс всех инерционных звеньев первого порядка не является линейным пространством, так как параллельное соединение двух инерционных звеньев первого порядка представляет собой более сложную систему, описываемую дифференциальным уравнением второго порядка.