§ 53. Дифференцирование случайной функции

Предположим, что заданы математическое ожидание и корреляционная функция случайной функции Найдем математическое ожидание и корреляционную функцию производной случайной функции

Сначала мы дадим чисто формальное решение поставленной задачи, не заботясь о математической строгости, а потом дадим строгое определение производной случайной функции и убедимся в том, что это определение приводит к тем же формулам, что и формальный вывод.

Так как производная есть предел отношения разности значений функции к разности соответствующих значений аргумента, а математическое ожидание разности случайных величин всегда равно разности их математических ожиданий, то операции дифференцирования и математического ожидания можно менять местами. Следовательно,

или

Таким образом, математическое ожидание производной случайной функции равно производной ее математического ожидания. Вычитая равенство (53.3) почленно из (53.1), получим:

и

или, рассматривая как независимые переменные,

Следовательно,

или

Таким образом, корреляционная функция производной случайной функции равна второй смешанной производной ее корреляционной функции.

Применяя формулы (53.3) и (53.8) многократно, получим следующие формулы для математического ожидания ту и корреляционной функции производной порядка

случайной функции

Совершенно аналогично выводится формула для взаимной корреляционной функции производных различных порядков случайной функции

Приведенный вывод формул (53.3) и (53.8), на основе которых выводятся дальше и формулы (53.10), (53.11) и (53.12), не является строгим по двум причинам. Во-первых, нестрогими были наши рассуждения о возможности изменения порядка операций дифференцирования и математического ожидания. Во-вторых, и это самое главное, обычное определение производной неприменимо к случайным функциям вследствие неприменимости обычного математического определения предела к случайным величинам. Действительно, отношение приращения случайной функции к приращению аргумента

является случайной величиной. Задавая при фиксированном значении последовательность значений сходящуюся к нулю, мы получим последовательность случайных величин, и о пределе этой последовательности можно говорить только в вероятностном смысле (см. § 37). В приложениях обычно считают случайную функцию дифференцируемой, если все ее возможные реализации дифференцируемы. При этом без всякого влияния на результаты вероятностных расчетов можно допустить существование исключительных недифференцируемых реализаций, имеющих нулевую суммарную вероятность. Тогда производную случайной функции X можно будет определить как предел почти наверное случайной функции определяемой формулой (53.13). Однако с теоретической точки зрения удобнее пользоваться понятием предела в среднем квадратическом. В соответствии с этим говорят, что

случайная функция скалярной переменной дифференцируема, если существует такая случайная функция что

Случайная функция называется производной случайной функции и для нее применяются обычные обозначенйя производных:

Из этого определения следует, что производная случайной функции есть предел в среднем квадратическом (см. § 37) отношения приращения случайной функции к приращению аргумента:

Если случайная функция в свою очередь дифференцируема, то ее производная называется второй производной случайной функции

Подобным же образом определяются производные более высоких порядков случайной функции

Если представляет собой совокупность нескольких скалярных аргументов, то, применяя определение (53.14) по отношению к одному из этих аргументов при фиксированных значениях остальных, получим определение частной производной случайной функции и других дифференциальных операций по отношению к случайной функции векторного аргумента.

Покажем теперь, что из определения производной случайной функции (53.14) вытекают формулы (53.3) и (53.8) для математического ожидания и корреляционной функции производной случайной функции. Для этого предварительно докажем следующее общее предложение: если последовательность случайных функций имеющих конечные математические ожидания и дисперсии, сходится в среднем квадратическом к случайной функции то существуют математическое ожидание и корреляционная функция случайной функции причем последовательность математических ожиданий случайных функций сходится к математическому ожиданию случайной функции а последовательность корреляционных функций случайных функций сходится к корреляционной функции случайной функции По условию при любом в области изменения аргумента случайных функций и X

Применяя неравенство (20.27) к смешанному начальному моменту второго порядка случайной величины и единицы, находим:

Следовательно, из существования математических ожиданий вытекает существование математических ожиданий разностей следовательно, на основании формулы (20.31) и дисперсий разностей А так как

то существование конечных математических ожиданий случайных функций и случайных функций влечет за собой существование математического ожидания случайной функции Далее, из существования конечных дисперсий случайных функций следует на основании неравенства (20.27) существование корреляционного момента случайных величин при любом фиксированном Отсюда, принимая во внимание формулу (53.20) и формулу (20.15) для дисперсии суммы случайных величин, заключаем, что существование конечных дисперсий случайных функций и конечных математических ожиданий влечет за собой и существование конечной дисперсии случайной функции X, а следовательно, на основании неравенства (51.3) и существование корреляционной функции случайной функции

Так как существование математического ожидания случайной функции X доказано, то

Эта формула показывает, что сходимость в среднем квадратическом последовательности случайных функций к случайной функции X влечет сходимость последовательности математических ожиданий случайных функций к математическому ожиданию случайной функции X:

и сходимость в среднем квадратическом последовательности соответствующих центрированных случайных функций к центрированной случайной функции

Применим теперь неравенство (20.27) к корреляционному моменту случайных величин и к корреляционному моменту случайных величин Тогда будем иметь:

Так как дисперсии случайных функций и X конечны, то на основании (53.23) правые части неравенств (53.24) и (53.25) меньше произвольного положительного числа если достаточно велико. Поэтому при достаточно большом неравенства (53.24) и (53.25) на основании определений корреляционной функции и взаимной корреляционной функции дают:

Из этих неравенств вытекает неравенство

Отсюда вследствие произвольности следует, что последовательность корреляционных функций случайных функций сходится к корреляционной функции случайной функции X:

Таким образом, высказанное предложение полностью доказано.

Из формулы (53.21) следует, что сходимость последовательности математических ожиданий к математическому ожиданию случайной функции X и сходимость последовательностей корреляционных функций и взаимных корреляционных функций к корреляционной функции случайной функции X являются не только необходимыми, но и достаточными условиями сходимости последовательности случайных функций в среднем квадратическом к случайной функции

Совершенно таким же образом доказывается, что в условиях предыдущей теоремы существует взаимная корреляционная функция случайной функции и произвольной случайной функции имеющей конечную дисперсию, и что последовательность взаимных корреляционных функций случайных функций сходится к взаимной корреляционной функции случайных функций

Зададим теперь последовательность значений сходящуюся к нулю, и применим доказанное предложение к соответствующей последовательности случайных функций (53.13). Математическое ожидание и корреляционная функция случайной функции на основании формул (19.13) и (20.22) равны:

Отсюда видно, что из существования конечных математического ожидания и корреляционной функции случайной функции X следует существование конечных математического ожидания и дисперсии случайной функции при любом Следовательно, к последовательности случайных функций соответствующих выбранной последовательности значений полностью применимо доказанное предложение, из которого следует, что существуют математическое ожидание и корреляционная функция производной случайной функции X и пределы математического ожидания и корреляционной функции случайной функции при причем

Но из формул (53.31) и (53.32) следует, что

Таким образом, формулы (53.3) и (53.8) доказаны совершенно строго. Изложенное показывает, что необходимым условием дифференцируемости случайной функции X является существование производной ее математического ожидания и смешанной второй производной ее корреляционной функции.

Применяя формулу (53.30) к взаимной корреляционной функции случайных функций , получим:

а так как

то формула (53.37) принимает вид:

Таким образом, из дифференцируемости случайной функции X и существования у нее конечных математического ожидания и корреляционной функции следуют существование взаимной корреляционной функции случайной функции и ее производной и формула (53.39).

Докажем теперь, что дифференцируемость математического ожидания случайной функции X и существование второй смешанной производной ее корреляционной функции являются достаточными условиями дифференцируемости случайной функции Для доказательства рассмотрим такую случайную функцию для которой

Для этой случайной функции можно написать равенство

Правая часть этой формулы на основании формул (53.36), (53.13) и (53.40) стремится к нулю при что и доказывает дифференцируемость центрированной случайной функции А так как математическое ожидание случайной функции X по условию имеет производную, то случайная функция X также дифференцируема, что и требовалось доказать. Таким образом, необходимым и достаточным условием существования производной случайной функции является существование производной ее математического ожидания и второй смешанной производной ее корреляционной функции.

Если производная математического ожидания и вторая смешанная производная корреляционной функции случайной функции X существуют в обобщенном смысле, т. е. выражаются при помощи импульсных функций, то мы будем считать, что случайная функция X дифференцируема в обобщенном смысле.

Приведенное определение производной случайной функции принадлежит Е. Е. Слуцкому, который первым изучил основные операции анализа над случайными функциями [71].

Пример 1. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию производной случайной функции с независимыми приращениями, рассмотренной в примере 1 § 48 и в примере 1 § 49.

Так как математическое ожидание рассматриваемой случайной функции тождественно равно нулю, то на основании формулы (53.3) и математическое ожидание производной тождественно равно нулю. Дифференцируя формулу (49.19) по находим на основании формулы (53.12) взаимную корреляционную функцию случайной функции X и ее производной X:

Эта формула показывает, что случайная функция X не коррелирована со значениями своей производной при последующих значениях аргумента. Этот результат можно было заранее предвидеть, зная, что приращения случайной функции X на неперекрывающихся интервалах независимы. Так как правая часть формулы (53.42) представляет собой единичную ступенчатую функцию разности то, дифференцируя формулу (53.42) по и принимая во внимание (53.8), приходим к выводу, что корреляционная функция производной X есть -функция:

Таким образом, производная случайной функции с независимыми приращениями представляет собой белый шум.

Пример 2. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию производной случайной функции если

Применяя формулу (53.3), находим математическое ожидание производной

Дифференцируя формулу (53.45) по находим на основании (53.12) взаимную корреляционную функцию случайной функции X и ее производной Х

Корреляционная функция производной X на основании (53.8) и (53.47) равна: