§ 114. Определение математических ожиданий и корреляционных функций эргодических стационарных случайных функций

В §§ 74 и 75 мы видели, что многие стационарные случайные функции обладают так называемым эргодическим свойством, которое заключается в том, что при неограниченно возрастающем интервале наблюдения вероятность приближения с любой заданной точностью среднего наблюденного значения стационарной случайной функции к ее математическому ожиданию стремится к единице. Это свойство стационарных случайных функций дает возможность определять вероятностные характеристики стационарной случайной функции по одной ее экспериментальной записи. Физическую природу эргодического свойства стационарных случайных функций можно пояснить следующим образом. В силу того, что дисперсия стационарной случайной функции постоянна, а корреляционная функция зависит только от интервала и не зависит от расположения этого интервала в области изменения аргумента стационарная случайная функция ведет себя, с точки зрения теории вероятностей, одинаково при всех значениях Поэтому, вместо того чтобы рассматривать ряд ее реализаций при фиксированном значении можно взять значения одной и той же реализации при различных значениях на достаточно большом интервале изменения Иными словами, наблюдение стационарной случайной функции при разных значениях на достаточно большом интервале в одном опыте равноценно наблюдению ее значений при одном и том же значении в ряде опытов.

На основании изложенного в §§ 74 и 75 за оценки математического ожидания и корреляционной функции действительной эргодической стационарной случайной функции можно принять средние значения реализаций соответствующих случайных функций при достаточно большом интервале записи Т:

Интегралы в этих формулах практически обычно заменяют суммами. Для того чтобы сделать это, разобьем интервал записи случайной функции на равных частей и обозначим середины полученных интервалов через Тогда, применяя для вычисления интеграла в формуле (114.1) формулу прямоугольников, получим:

Аналогично, если придать х в формуле (114.2) значения и применить для вычисления интеграла формулу прямоугольников, получим:

Формулами (114.3) и (114.4) обычно и пользуются для определения математического ожидания и корреляционной функции стационарной случайной функции по одной ее экспериментальной записи.

Оценку точности определения математического ожидания и корреляционной функции по формулам (114.1) и (114.2) можно приближенно произвести, пользуясь формулой (74.6), которая дает дисперсию оценки (114.1) математического ожидания стационарной случайной функции [оценка (114.1), очевидно, является несмещенной]. Принимая во внимание, что случайная функция X действительна, получаем для дисперсии оценки (114.1) формулу

где через обозначено случайное значение оценки математического ожидания (114.1):

Чтобы приближенно оценить точность оценки (114.2) корреляционной функции, следует применить формулу (114.5) к случайной функции Тогда, предполагая, что случайная функция X распределена нормально и повторяя преобразование,

выполненное в § 75, получим:

где случайная оценка корреляционной функции:

Формула (114.3) также дает несмещенную оценку математического ожидания случайной функции Для оценки точности определения математического ожидания случайной функции X по формуле (114.3) достаточно вычислить дисперсию случайной величины

В результате совершенно так же, как была выведена формула (74.6), получим:

Для приближенной оценки точности определения корреляционной функции по формуле (114.4) следует применить формулу (114.10) к случайной функции Тогда, предполагая, что случайная функция X распределена нормально, получим:

Так как корреляционная функция случайной функции X обычно не бывает известна заранее, то при оценке точности определения математического ожидания и корреляционной функции по результатам опытов в формулы (114.5), (114.7), (114.10) и (114.11) подставляют вместо корреляционной функции ее оценку (114.2) или (114.4).

Для достаточно надежного определения математического ожидания и корреляционной функции стационарной случайной функции

по формулам (114.0) и (114.4) необходимо взять достаточно большим, порядка нескольких десятков или даже сотен, в зависимости от характера исследуемой случайной функции. При определении необходимого числа следует исходить из условия, чтобы на интервале длиной в один период наиболее высокочастотной гармоники, наблюдаемой в записи исследуемой случайной функции, располагалось не меньше десяти точек Что касается наибольшего допустимого числа в формуле (114.4), то оно не должно быть больше примерно четверти числа При этом интервал записи должен быть достаточно большим для того, чтобы корреляционная функция, вычисленная по формуле (114.4), была близка к нулю для всех близких к

Аналогично для оценки взаимной корреляционной функции двух действительных стационарных и стационарно связанных случайных функций будем иметь формулы:

По этим формулам взаимная корреляционная функция случайных функций определяется для положительных значений Чтобы получить оценку взаимной корреляционной функции случайных функций для отрицательных значений х, следует поменять в формулах (114.12) и (114.13) функции х, у местами и воспользоваться свойством (73.4) взаимной корреляционной функции стационарных случайных функций. Тогда получим:

и

Как мы видели в §§ 77 и 92, весьма важной вероятностной характеристикой стационарной случайной функции является ее спектральная плотность. Поэтому необходимо рассмотреть возможные способы определения спектральной плотности стационарной случайной функций по экспериментальным данным. Для нахождения оценки спектральной плотности применим формулы (77.46), (77.47) и (77.48), заменив на и полагая Тогда получим:

где случайная оценка корреляционной функции, определяемая формулой (114.8). Взяв достаточно малое а, можем принять интеграл в левой части равенства (114.16) равным Тогда получим следующую оценку спектральной плотности стационарной случайной функции X:

где — оценка корреляционной функции, определяемая по формуле (114.2) или (114.4). Формула (114.17) дает хорошую оценку спектральной плотности при любом а, если достаточно велико. Однако при данном конечном величину а нельзя взять сколь угодно малой. При данном оценка (114.17) тем лучше, чем больше а, если а остается достаточно малым. С другой стороны, интеграл в левой части равенства (114.16) можно считать равным только в том случае, если спектральная плотность близка к линейной функции в интервале Поэтому при вычислении по формуле (114.17) всегда желательно взять наибольшую величину а, при которой определяемая формулой (114.17) оценка спектральной плотности может считаться приблизительно линейной функцией в интервале частот длины . Если оценка корреляционной функции становится практически равной нулю При то первый множитель в подынтегральной функции в (114.17) можно отбросить. Тогда получим следующую оценку спектральной плотности:

Заметим, что за оценку спектральной плотности нельзя принять непосредственно преобразование Фурье оценки корреляционной

функции:

так как согласно сказанному в конце § 77 преобразование Фурье оценки корреляционной функции представляет собой случайную функцию частоты среднее квадратическое отклонение которой при любом является величиной того же порядка, что и оцениваемая спектральная плотность Однако практически все же можно получить оценку спектральной плотности, пользуясь формулой (114.19). Для этого необходимо вычислить формуле (114.19) для большого числа значений отделенных друг от друга достаточно малым интервалом практически порядка и сгладить полученную таким образом кривую. Вычисленная по формуле (114.19) функция представляет собой реализацию преобразования Фурье оценки корреляционной функции, соответствующую наблюденной реализации случайной функции Сглаживая эту функцию, мы получаем оценку математического ожидания преобразования Фурье оценки корреляционной функции (см. следующий параграф), которое можно считать приближенно равным спектральной плотности Сглаживание кривой, полученной по формуле (114.19), можно выполнить любым способом, например проведением сглаживающей кривой на глаз. Если применить для сглаживания функции (114.19) метод скользящей средней, то получим для спектральной плотности оценку

Подставляя сюда выражение (114.19) и выполняя интегрирование по X, мы снова получим формулу (114.18). Этот результат можно считать обоснованием законности нахождения оценки спектральной плотности путем вычисления преобразования Фурье оценки корреляционной функции и сглаживания полученной таким образом функции.

Для получения оценки спектральной функции стационарной случайной функции X заменим в (77.46), (77.47) и на и положим Тогда получим:

Эта формула дает следующую оценку спектральной функции:

Если оценка корреляционной функции становится практически равной нулю при то первый множитель подынтегральной функции в (114,22) можно заменить единицей. Тогда получим для оценки спектральной функции формулу

Определив по формуле (114.22) или (114.23) спектральную функцию, можно найти спектральную плотность как производную спектральной функции, применяя для этого любой способ численного или графического дифференцирования.

Если оценка корреляционной функции вычислена по формуле (114.4), то интегралы в формулах (114.17), (114.18), (114.19), (114.22) и (114.23) целесообразно заменить суммами. Тогда формула (114.17) примет вид:

Аналогичными формулами заменятся формулы (114.18), (114.19), (114.22) и (114.23).

В § 92 мы видели, что в практических применениях теории стационарных случайных функций часто можно ограничиться спектральной плотностью и не интересоваться корреляционной функцией. В связи с этим возникает вопрос, нельзя ли определить по экспериментальным данным непосредственно спектральную плотность стационарной случайной функции, без предварительного определения корреляционной функции. Как уже было отмечено выше, если в нашем распоряжении имеется только одна запись стационарной случайной функции при данных условиях опыта, то определить спектральную плотность без предварительного определения корреляционной функции вычислительным путем практически невозможно. Это можно сделать только при помощи специальной математической машины, состоящей из линейного резонансного фильтра, выделяющего из записанной реализации случайной функции гармоники с частотами, близкими к данному значению частоты на которую фильтр настроен, и измерительного прибора, определяющего дисперсию случайной функции на выходе фильтра. После определения дисперсии выходной переменной фильтра для различных значений

резонансной частоты фильтра можно определить спектральную плотность подаваемой на вход фильтра стационарной случайной функции, пользуясь формулой (92.9):

где — эффективная полоса пропускания фильтра.