§ 19. Математическое ожидание комплексной случайной величины. Свойства математических ожиданий

До сих пор мы рассматривали только действительные случайные величины. Однако в теории случайных функций часто бывает удобно пользоваться комплексными случайными величинами. Поэтому для дальнейшего нам необходимо распространить определение математического ожидания, дисперсии и корреляционного момента на комплексные случайные величины. Рассмотрим комплексную случайную величину

где действительные случайные величины, Пусть совместная плотность вероятности случайных величин Рассматривая комплексную случайную величину как функцию двух действительных случайных величин и распространяя определение (17.1) математического ожидания произвольной функции на комплексные функции, получим:

или

Таким образом, математическое ожидание комплексной случайной величины есть комплексное число, действительная и мнимая части которого равны математическим ожиданиям действительной и мнимой частей комплексной случайной величины соответственно.

Полагая в где с — произвольная неслучайная величина, и принимая во внимание (15.10), получаем следующие равенства:

Первое из этих равенств вытекает также из того факта, что неслучайная величина с имеет только одно возможное значение и вероятность этого значения равна единице.

Полагая в находим для действительных случайных величин:

или

Таким образом, математическое ожидание суммы двух действительных случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Пусть теперь комплексные случайные величины:

На основании (19.3) можно написать:

или, принимая во внимание, что формула (19.7) для действительных случайных величин доказана,

На основании (19.1), (19.3) и (19.8) формула (19.10) равноценна формуле (19.7). Следовательно, формула (19.7) справедлива и для комплексных случайных величин.

Формула (19.7) легко обобщается на сумму произвольного числа случайных величин:

Формулы (19.7) и (19.11) выражают теорему сложения математических ожиданий: математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Из формул (19.4), (19.5) и (19.11) следует, что математическое ожидание линейной функции случайных величин

выражается такой же линейной функцией от математических ожиданий случайных величин-аргументов:

Пример. Найти математические ожидания числа появлений и частоты события А при опытах, если вероятность появления события А в результате опыта равна

Обозначим через число появлений события А в результате одного опыта. Тогда число появлений X события А в результате опытов будет равно:

Так как математическое ожидание числа появлений события при одном опыте, согласно первой формуле (10.21), равно вероятности появления события в этом опыте, то, применяя формулу (19.11), найдем математическое ожидание числа появлений события А при опытах:

Так как частота У события А при опытах связана с числом его появлений X формулой

то, пользуясь формулой (19.5), получаем для математического ожидания частоты события А при опытах формулу

Таким образом, математическое ожидание частоты события при опытах равно среднему арифметическому его вероятностей при этих опытах. В частности, если вероятность события А во всех опытах одна и та же и равна то математическое ожидание частоты события равно вероятности этого события: