§ 31. Применение линеаризации функций для приближенного определения моментов нелинейных функций случайных аргументов

Формулы (30.6) и (30.7) могут быть применены для приближенного определения математических ожиданий, дисперсий и корреляционных моментов нелинейных функций случайных аргументов, если только эти функции могут быть с достаточной степенью точности линеаризованы (заменены линейными функциями) в области практически возможных значений случайных величин-аргументов. Линеаризация функций может быть выполнена различными способами. Простейшим и наиболее распространенным способом линеаризации функций является замена их такими линейными функциями, которые имеют те же значения и те же значения первых производных по всем аргументам при некоторых средних значениях аргументов, что и данные функции. В качестве средних значений аргументов при этом обычно берут математические ожидания случайных величин-аргументов. Применяя этот способ линеаризации, заменим точные функциональные зависимости (30.3) приближенными линейными зависимостями:

Сравнивая формулы (31.1) с (30.5), находим значения коэффициентов

Подставляя эти выражения коэффициентов в формулу (30.6), получим приближенную формулу для математических ожиданий случайных величин

Подставляя выражения (31.2) коэффициентов в формулу (30.7), получим приближенную формулу для элементов корреляционной матрицы случайного вектора К:

В частном случае, когда случайные величины не коррелированы, принимает вид:

При формула (31.6) дает дисперсии случайных величин

Нетрудно видеть, что изложенный метод линеаризации представляет собой по существу замену конечного приращения функции в точке дифференциалом. Для Функции одного аргумента это означает замену кривой, соответствующей данной функции, касательной к ней в точке Для функции двух аргументов такая замена представляет собой замену соответствующей данной функции поверхности касательной плоскостью к ней в точке

Изложенный способ линеаризации функций очень удобен. Этот способ в большинстве практических случаев оказывается достаточно хорошим и с точки зрения точности, так как он обеспечивает

наибольшую точность приближения данных функций вблизи точки в то время как малые отклонения случайных величин от их математических ожиданий чаще всего оказываются более вероятными, чем большие.

Формулы (31.4) и (31.5) определяют математические ожидания, дисперсии и корреляционные моменты случайных величин с достаточной точностью в том случае, когда функции достаточно мало отличаются от линейных функций (31.1) в области практически возможных значений случайных величин