§ 141. Определение оптимального оператора по критерию минимума среднего риска при произвольной функции потерь

В предыдущем параграфе было дано общее решение задачи определения оптимального оператора в классе всех возможных операторов по критерию минимума средней квадратической ошибки и по более общему критерию экстремума данной функции математического ожидания и дисперсии ошибки. Эти два критерия, как было отмечено в § 119, являются частными случаями общего критерия минимума среднего риска (119.10). Оказывается, что задача определения оптимального оператора в классе всех возможных операторов по критерию минимума среднего риска при весьма общих условиях может быть решена для произвольной функции потерь В этом параграфе мы дадим решение этой задачи для случая произвольной функции потерь, зависящей от текущих значений сигнала и его оценки [62]. В § 144 мы покажем, как это решение распространяется на случай, когда функция потерь I является функционалом от сигнала и его оценки [66, 67].

Предположим, что наблюдаемая случайная функция выражается формулой (122.9), а сигнал формулой

где случайная функция так же как и в формуле (122.10), представляет собой результат некоторого преобразования нерегулярной части сигнала, содержащегося в наблюдаемой случайной функции Очевидно, что формула (122.10) представляет собой частный случай формулы (141.1), когда функция линейна относительно

Формулу (141.1) мы будем в дальнейшем записывать сокращенно в виде:

Предположим далее, что векторная случайная функция распределена нормально и независима от случайного вектора При этом, как было показано в § 122, без потери общности можно считать, что математические ожидания случайных функций тождественно равны нулю. При этих условиях мы изложим общий метод определения оптимального оператора по критерию минимума среднего риска (119.10) в классе всех возможных операторов, действующих над наблюдаемой случайной функцией для случая, когда функция потерь является произвольной функцией текущих значений сигнала

На основании формулы (17.9) можно, так же как и в предыдущем параграфе, выполнить вероятностное осреднение в формуле (119.10) в два приема: сначала произвести осреднение по всем возможным реализациям сигнала при фиксированной реализации случайной функции а потом осреднить результат по всем возможным реализациям случайной функции В результате получим:

Эта формула показывает, что для решения поставленной задачи достаточно найти такой оператор А, который обеспечивает минимум условного математического ожидания функции потерь относительно наблюдаемой случайной функции для каждой возможной реализации случайной функции (за исключением, может быть, некоторых реализаций, имеющих нулевую суммарную вероятность появления):

Задача определения такого оператора в общем виде решается методом канонических разложений случайных функций, который дает

достаточно простой алгоритм для нахождения оптимального оператора А. При решении поставленной задачи нам удобно будет ограничиться случаем, когда случайные функции случайные величины и функции в формулах (122.9) и (141.1) действительны. Случай комплексных функций величин и функций равноценен случаю действительных векторных функций который полностью охватывается излагаемой ниже теорией. Поэтому ограничение действительными функциями величинами и функциями не Уменьшает общности излагаемого метода. Представим векторную случайную функцию каким-либо каноническим разложением:

Как было показано в главе 9, это всегда можно сделать, и притом бесчисленным множеством способов. Из § 70 видно, что для действительных случайных функций всегда можно найти каноническое разложение (141.6) в действительной форме. Следовательно, мы можем считать случайные величины и координатные функции в разложении (141.6) действительными. После того как разложение (141.6) найдено, можно определить систему действительных линейных функционалов действующих над функциями переменной изменяющейся в области удовлетворяющих совместно с функциями условию биортогональности (135.3). Это также всегда можно сделать, например, методом, изложенным в § 63. При этом, как показано в § 63, будут также удовлетворяться и условия (135.2), а случайные величины входящие в разложение (141.6) случайной функции X, выразятся формулой (135.4).

Предположим сначала, что разложение (141.6) случайной функции У не содержит таких случайных величин которые не входили бы также и в разложение (141.6) случайной функции В дальнейшем мы покажем, что это ограничение несущественно и от него можно избавиться. Приняв это ограничение, мы видим, что вследствие (135.15) и (135.4) все координатные функции выражаются формулой (135.11).

Определим случайные величины

На основании (122.9), (135.4) и (135.12)

Следовательно,

Сравнивая эту формулу с (122.9), видим, что в случае, когда все функции могут быть представлены разложениями по координатным функциям:

имеет место равенство

Таким образом, если все функции могут быть представлены разложением (141.10), то наблюдаемая случайная функция вполне определяется совокупностью случайных величин Формула (141.7) показывает, что и, наоборот, значения всех случайных величин полностью определяются заданием реализации случайной функции Следовательно,

Заменяя во второй формуле (141.6) случайные величины их выражениями из (141.8), получим:

или, принимая во внимание (135.19),

Подставляя это выражение в формулу (141.3), получим:

Эта формула показывает, что случайная функция вполне определяется совокупностью случайных величин Таким образом, задания совместного закона распределения случайных величин достаточно для вычисления всех вероятностных характеристик случайных функций

Как мы видели в § 135, для сходимости рядов (141.10), (135.18), (135.19) и (135.20) достаточно существования конечных дисперсий случайных функций и сходимости рядов (135.39).

На основании формулы (141.11) результат действия на наблюдаемую случайную функцию любого оператора представляет собой функцию независимой переменной 5 и случайных величин следовательно, искомый оптимальный оператор имеет вид:

где некоторая функция, подлежащая определению. Условное математическое ожидание функции относительно наблюдаемой случайной функции при этом выразится формулой

где условная плотность вероятности случайного вектора относительно случайных величин

На основании формул (16.17) и (15.17) условная плотность вероятности случайных величин относительно случайных величин выражается формулой

где безусловная плотность вероятности случайного вектора условная плотность вероятности случайных величин относительно случайного вектора Для того чтобы найти условную плотность вероятности заметим, что случайные величины распределены нормально, так как они представляют собой результат линейного преобразования (135.4) нормально распределенной случайной функции Следовательно, они не только не коррелированы, но и независимы (см. § 22), и их совместная плотность вероятности равна произведению их плотностей вероятности. Из этого факта и из формулы (141.8) следует, что условный закон распределения случайных величин относительно величин т. е. закон распределения случайных величин при фиксированных определенных значениях величин будет нормальным и совместная условная плотность вероятности величин относительно величин равна произведению соответствующих условных плотностей вероятности отдельных величин Принимая во внимание, что случайная величина имеет равное нулю математическое ожидание и дисперсию получим на основании (141.8) для

условной плотности вероятности одной случайной величины относительно всех случайных величин формулу

Совместная условная плотность вероятности всех случайных величин относительно случайных величин равна произведению выражений (141.19), соответствующих всем значениям индекса Подставляя это произведение в формулу (141.18) и сокращая общие множители в числителе и в знаменателе, получим:

где величины определяются формулой (135.20). При фиксированных значениях величин интеграл в знаменателе формулы (141.20) является постоянной величиной. Следовательно, при подстановке выражения (141.20) в формулу (141.17) эта величина выйдет за знак интеграла и не будет влиять на значение функции при данных значениях величин определяемое из условия минимума условного математического ожидания (141.17). Поэтому функция определяется условием минимума интеграла

при всех возможных значениях величин Рассмотрим интеграл

При фиксированных значениях переменных интеграл (141.22) является функцией переменной Пусть значение переменной при котором интеграл (141.22) имеет минимальное значение при данных фиксированных значениях Очевидно, что в общем случае зависит от значений переменных является функцией

Сравнивая интегралы (141.21) и (141.22), видим, что функция реализующая минимум интеграла (141.21), определяется формулой

где

Заменяя в формулах (141.24) и (141.25) переменные случайными величинами получим на основании (141.16) следующее выражение для оптимального оператора:

где случайные величины представляют собой линейные комбинации случайных величин

Таким образом, оптимальный оператор не зависит от случайных величин по отдельности, а зависит только от их линейных комбинаций (141.27). Формулы (141.26) и (141.27) полностью определяют оптимальный оператор в случае, когда все функции могут быть представлены разложениями (141.10).

Сравнивая выкладки этого параграфа и выкладки § 135, мы видим в них много общего. В обоих случаях фигурируют одни и те же величины определяемые формулами (135.11) и (135.12), и величины определяемые формулами (135.19) и (135.20). Далее, подставляя выражение (141.7) случайных величин в формулы (141.27), можем представить их в виде:

Принимая во внимание формулы (135.13) и (135.14), определяющие линейные операторы удовлетворяющие уравнениям (124.2) и (124.3), можем переписать формулы (141.28) в виде:

Подставляя эти выражения в формулу (141.26), получим следующее выражение для оптимального оператора:

При помощи операторов величины, определяемые формулами (135.19) и (135.20), выражаются формулой (124.6). Таким образом, линейные операторы, удовлетворяющие уравнениям (124.2) и (124.3), к определению которых сводится задача нахождения оптимального линейного оператора по критерию минимума средней квадратической ошибки, играют основную роль и при определении оптимального оператора в классе всех возможных операторов по общему бейесову критерию (119.10).

Формулы (135.13) и (135.14) определяют линейные операторы в самом общем случае в форме бесконечных рядов. Однако при практическом применении изложенного метода можно пользоваться для нахождения операторов удовлетворяющих уравнениям (124.2) и (124.3), любым из методов предыдущей главы. Определив операторы любым подходящим в данном конкретном случае методом и вычислив величины по формуле (124.6), следует найти функцию из условия минимума интеграла (141.22). Тогда искомый оптимальный оператор определится формулой (141.30).

В практических задачах часто оказывается удобным при отыскании минимума интеграла (141.22) в случае скалярного сигнала сделать замену переменных, приняв первый аргумент функции

за переменную интегрирования вместо одной из переменных например вместо (при этом, конечно, производная не должна быть тождественно равна нулю, что всегда может быть достигнуто соответствующей нумерацией случайных величин Тогда интегрирование по переменным можно будет выполнить, и в результате кратный интеграл (141.22) приведется к виду:

где

причем переменная здесь должна быть заменена ее выражением через из формулы (141.31).

Предоставляем читателю самостоятельно показать, что в частном случае критерия минимума средней квадратической ошибки условие минимума интеграла (141.22) дает для оптимального оператора формулу (140.5). Следует, однако, заметить, что формула (140.5) была получена при более общих условиях, чем те, которые приняты в этом параграфе.

Для оценки качества оптимальной системы и сравнения с ней различных реальных систем необходимо уметь вычислять средний риск для оптимального оператора. Так как формула (141.26) определяет результат действия оптимального оператора на наблюдаемую функцию как определенную функцию конечного числа случайных величин то эта задача принципиально решается достаточно просто. А именно:

где - условная плотность вероятности случайных величин относительно величин Так как случайные величины представляют собой линейные функции (141.27) случайных величии имеющих нормальный условный закон распределения, то и условный закон распределения случайных величин нормален. Следовательно, для определения условной плотности вероятности достаточно найти условные математические ожидания и условные корреляционные моменты случайных величин относительно величин Так как формула (141.29) определяет случайные величины как результат преобразования случайной функции линейными операторами то для нахождения математических ожиданий и корреляционных моментов случайных величин можно воспользоваться теорией линейных преобразований случайных функций. Фиксируя значения случайных величин пользуясь формулами (88.3) и (89.14), принимая во внимание (124.6) и (124.11) и учитывая, что операторы действительны, получим для условных математических ожиданий и условных корреляционных

моментов случайных величин формулы:

Определив условные математические ожидания и корреляционные моменты случайных величин можем выразить их условную плотность вероятности формулой (23.41) или (23.43). Пользуясь формулой (23.43), преобразуя определитель путем прибавления к последнему столбцу второго, третьего, столбцов, умноженных соответственно на и прибавления к последней строке второй, третьей, строк, умноженных соответственно на и принимая во внимание первую формулу (141.35), получим:

где определитель матрицы гебраическое дополнение элемента в этом определителе.

Подставляя выражение (141.36) в формулу (141.34) и принимая во внимание (141.22), получим:

Заметим, что во всех предыдущих выкладках переменная 5 играет роль параметра и вычисления изложенным методом должны выполняться для каждого данного значения 5 отдельно. Отсюда следует, что вся изложенная теория полностью применима и к случаю, когда величины являются случайными функциями переменной

Вследствие этого изложенная теория применима и к тому случаю, когда в каноническом разложении (141.6) случайной функции У имеются такие случайные величины которые не входят в каноническое разложение случайной функции Для применения теории к этому случаю достаточно выделить из разложения случайной функции У совокупность всех членов, содержащих величины не входящие в разложение случайной функции Сумма всех таких членов будет распределена нормально и независима от суммы оставшихся членов разложения случайной функции У. Поэтому ее можно обозначить через и таким образом выделить из случайной функции У-как дополнительную величину

Так как изложенная теория основана на теории канонических разложений случайных функций, не накладывающей никаких ограничений на аргументы случайных функций, то величины во всех предыдущих выкладках могут быть произвольными скалярными или векторными переменными. Следовательно, изложенный метод определения оптимального оператора применим к задачам приближения любых скалярных или векторных случайных функций произвольных скалярных или векторных аргументов. В частности, он применим к задачам определения оптимальных одномерных и многомерных автоматических систем, предназначенных для обнаружения или воспроизведения сигналов в присутствии помех. Соответствующие выражения линейных операторов для этих задач и определяющие их уравнения приведены в § 125. При этом, если случайная функция является -мерным вектором, а функция потерь зависит от всех составляющих векторов то переменная у в формуле (141.22), а следовательно, и функция также будут -мерными векторами. Оператор в этом случае, как было показано в § 125, тоже представляет собой -мерный вектор, вследствие чего величина и случайная величина также будут -мерными векторами. Для приближенного численного отыскания минимума интеграла (141.22) в случае, когда переменная у представляет собой вектор, удобно пользоваться методом наискорейшего спуска (см. Дополнение, III).

Изложенный метод определения оптимального оператора обладает большой общностью. По существу единственным ограничением, которое этот метод накладывает на функцию потерь и плотность вероятности случайных величин является требование, чтобы при любых значениях переменных за исключением, может быть, некоторого счетного множества значений, существовало значение переменной у, при котором интеграл (141.22) принимает наименьшее значение.

Изложенный метод всегда дает оператор, который является оптимальным для каждой конкретной реализации наблюдаемой функции так как этот метод основан на минимизации условного

математического ожидания (141.17). Поэтому целесообразно оценивать качество решения задачи для каждой данной реализации наблюдаемой функции соответствующим значением условного математического ожидания функции потерь относительно наблюдаемой функции Для нахождения этого условного математического ожидания достаточно подставить выражение (141.20) в формулу (141.17). Тогда, принимая во внимание (141.16), (141.26), (141.27) и (141.22), получим:

где для краткости положено

Пример 1. Определить оптимальную систему для экстраполяции сигнала, представляющего собой линейную функцию времени с нормально распределенными случайными коэффициентами если на вход системы поступает сумма этого сигнала и независимой от него нормально распределенной помехи причем математические ожидания сигнала и помехи тождественно равны а корреляционная функция помехи определяется формулой (49.36). Задачу решить, пользуясь критерием минимума вероятности того, что ошибка превзойдет по модулю данную величину а.

Наблюдаемая случайная функция и сигнал в данном случае определяются формулами:

представляющими собой частный случай формул (122.9) и (141.1). Функция потерь I на основании (119.17) определяется формулой

Поэтому интеграл (141.22) принимает в данном случае вид:

где элементы матрицы, обратной по отношению к корреляционной матрице случайного вектора Уравнения (124.3), определяющие линейные операторы в данном случае представляют собой интегральные уравнения (132.40), решенные в примере 2 § 132. Их решение определяется формулами (132.41). При этом величины определяются формулами (132.42).

Очевидно, что интеграл (141.42) представляет собой величину, пропорциональную вероятности попадания случайной точки подчиненной нормальному закону, в область, лежащую вне полосы, определяемой неравенством

Для того чтобы эта вероятность была минимальной, необходимо выбрать значение переменной х так» чтобы центр рассеивания на плоскости лежал в середине полосы, т. е. на прямой

Обозначив координаты центра рассеивания, т. е. значения переменных при которых подынтегральная функция в (141.42) максимальна, через получим для формулу

Для определения координат центра рассеивания приравниваем нулю значения частных производных показателя степени в (141.42) при Тогда получим следующую систему уравнений для определения

Эти уравнения определяют как линейные функции переменных Следовательно, и величина о» определяемая формулой (141.45), есть линейная функция

и формула (141.30) для оптимального оператора принимает вид:

где весовые функции и определяются формулами (132.41).

Таким образом, оптимальный оператор в данном примере является линейным. Для сравнения этого оператора с оператором, оптимальным по отношению к критерию минимума средней квадратической ошибки, подставим в формулу (141.47) выражения величин из уравнений (141.46) и сравним коэффициенты при в полученном выражении с соответствующими коэффициентами в формуле (141.45). В результате получим систему линейных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять величины

Эти уравнения в точности совпадают с уравнениями (132.43), которые определяют величины в случае критерия минимума средней квадратической ошибки. Таким образом, оптимальный оператор в данном случае совпадает с тем, который получается по критерию минимума средней квадратической ошибки.

Пример 2. Определить оптимальную систему для воспроизведения постоянного сигнала, представляющего собой равномерно распределенную в интервале случайную величину по результатам наблюдения суммы этого сигнала и независимой от него нормально распределенной помехи в интервале времени по критерию минимума

математического ожидания модуля ошибки. Математическое ожидание помехи тождественно равно нулю, а ее корреляционная функция определяется формулой (49.36).

В данном случае наблюдаемая случайная функция и сигнал выражаются формулами

а функция потерь I представляет собой модуль ошибки:

Интеграл (141.22) имеет в данном случае вид:

Этот интеграл легко вычисляется. Полагая для краткости

находим:

где

Легко видеть, что функция непрерывна и имеет непрерывную первую производную. При функция является линейной убывающей, а при линейной возрастающей. Следовательно, имеет минимум в некоторой точке лежащей внутри интервала Для нахождения этого минимума достаточно приравнять нулю производную которая при выражается формулой

Полагая здесь и приравнивая результат нулю, получим для определения значения переменной х, при котором достигает минимума, формулу

Значение определяемое этой формулой, представляет собой функцию которую мы обозначим через Для

определения значения переменной при котором интеграл (141.52) достигает минимального значения, заменим в (141.53) величины соответственно величинами и Решим полученное уравнение относительно В результате получим:

Величина в данном случае определяется первой формулой (132.42), а весовая функция линейного оператора А — первой формулой (132.41). Формула (141.30) для оптимального оператора дает:

Очевидно, что является нелинейной функцией первого аргумента. Таким образом, мы имеем пример нелинейного оптимального оператора.

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в том, что если решить эту задачу, пользуясь критерием минимума средней квадратической ошибки, когда то для оптимального оператора получится та же формула (140.32), которая была выведена в примере предыдущего параграфа.

Пример 3. Определить оптимальную систему для обнаружения сигнала, представляющего собой полностью известную функцию времени, при условии, что помеха распределена нормально.

В данном случае сигнал представляет собой известную функцию времени с известным положением начала ее отсчета на оси времени, например синусоидальную функцию

с известной фазой 0. Однако этот сигнал может содержаться в наблюдаемой случайной функции, а может и отсутствовать. Задача проектируемой системы и состоит как раз в том, чтобы различить, содержится сигнал в наблюдаемой случайной функции или нет. Поэтому содержащийся в наблюдаемой функции сигнал можно представить как произведение функции на случайную величину которая может принимать значение с некоторой отличной от нуля вероятностью. Тогда наблюдаемую случайную функцию и подлежащий обнаружению сигнал можно будет представить формулами

где помеха. В простейшем случае, когда интенсивность (в частности, амплитуда) сигнала может иметь только одно значение и сигнал не флуктуирует, случайная величина имеет только два возможных значения: нуль, когда сигнала нет в наблюдаемой функции, и единица, когда сигнал есть. В более общих случаях, когда принимаемый сигнал флуктуирует или передача сообщений ведется при помощи сигналов различной интенсивности (например, в случае амплитудной модуляции сигнала), является случайной величиной смешанного типа, имеющей непрерывно распределенные возможные значения и отличную от нуля вероятность нулевого значения.

Поэтому в общем случае плотность вероятности случайной величины выражается формулой

где некоторая функция, которая, в Частности, может представлять собой линейную комбинацию -функций (если прерывная случайная величина), вероятность того, что сигнал содержится в наблюдаемой функции, вероятность отсутствия сигнала.

Функция потерь I в данном случае, как было показано в § 119, выражается формулой (119.15).

Для нахождения оптимального оператора системы обнаружения изложенным методом необходимо найти линейный оператор А путем решения соответствующего уравнения (124.3), вычислить величину и после этого найти функцию из условия минимума интеграла (141.22). На основании формул (119.15) и (141.63) интеграл (141.22) принимает в данном случае вид:

Таким образом, интеграл (141.22) в данном случае представляет собой ступенчатую функцию у, высота первой ступени которой зависит от Поэтому интеграл (141.22), рассматриваемый как функция у, в данном случае не имеет минимума в обычном смысле. Однако для решения нашей задачи вполне достаточно найти значение переменной при котором интеграл (141.64) имеет наименьшее значение. Эта задача решается очень просто. А именно, достаточно взять любое значение при тех значениях при которых интеграл

меньше и любое значение тех значениях при которых интеграл (141.65) больше Следовательно, в качестве функции в Данном случае можно взять любую возрастающую функцию интеграла (141.65), принимающую значение с, когда интеграл (141.65) равен Этот произвол в решении задачи является естественным следствием самой природы задачи обнаружения. Для решения этой задачи совершенно безразлично конкретное выражение оценки сигнала. Важно лишь, как показывает полученный результат, чтобы оценка превышала заданный уровень с тогда и только тогда, когда интеграл (141.65) превышает величину В некоторых практических задачах оказывается целесообразным следующий выбор функции и числа с:

В случае заданной величины X, в частности в случае, когда формулы (141.66) полностью определяют функцию и число с. В случае неопределенного параметра X для полного определения числа с необходимо найти значение X из соответствующего дополнительного условия. Вместо этого можно определять из дополнительного условия непосредственно число с. Так, например, в случае решения задачи обнаружения по критерию условного минимума вероятности ошибки при заданной условной вероятности ложного обнаружения сигнала при его отсутствии в наблюдаемой функции число с может быть найдено из условия равенства заданной величине а условной вероятности ложного обнаружения сигнала в случае его отсутствия. Для этого необходимо предварительно найти условную плотность вероятности случайной величины при условии, что величина принимает нулевое значение. Эта плотность вероятности определяется формулой (141.36), которая в данном случае, когда имеется только одна случайная величина принимает вид:

Применяя для определения плотности вероятности оценки сигнала формулу (33.3), получим следующее уравнение для определения с:

Левая часть этого уравнения, очевидно, представляет собой вероятность того, что оценка сигнала превысит уровень с при условии отсутствия сигнала (т. е. при условии, что величина принимает нулевое значение). Определив из уравнения (141.68) величину с, мы полностью решим поставленную задачу.

На основании формул (141.30) и (141.66) оптимальный оператор системы обнаружения имеет вид:

Оптимальный оператор системы обнаружения, определяемый формулой (141.69), в общем случае выражается очень сложно и представляет собой нелинейный оператор. Поэтому выбор функции в общем случае не является наивыгоднейшим. В большинстве практических задач можно, пользуясь допустимым произволом в выборе функции определить более простой оптимальный оператор системы обнаружения.

Действительно, во всех случаях, когда интеграл (141.65) представляет собой неубывающую функцию можно в качестве функции взять любую возрастающую линейную функцию приняв в качестве с значение этой функции при том значении при котором интеграл (141.65) равен В частности, если интеграл (141.65) является неубывающей функцией всегда можно принять

выбрав в качестве с значение при котором интеграл (141.65) равен

В частном случае приема сигнала, не подверженного действию флуктуаций, имеющего только одно возможное значение интенсивности, случайная величина является величиной прерывного типа, имеющей два возможных значения: и 1. В этом случае

и формула (141.66) приводится к виду (141.70).

Уравнение (141.68) для случая, когда функция определяется формулой (141.70), принимает вид:

Применяя для вычисления интеграла формулу (11.11), получим:

Эта формула определяет значение с, при котором условная вероятность ложного обнаружения сигнала при его отсутствии равна заданной величине а.

Для исследования зависимости качества обнаружения от интенсивности сигнала, характеризуемой обычно отношением сигнал/шум, удобно нормировать наблюдаемую случайную функцию, разделив ее на среднее значение корня квадратного из дисперсии помехи (или интенсивности, если помеха является белым шумом). Обозначим наибольшую амплитуду принимаемого сигнала через а, а среднюю дисперсию (или интенсивность) помехи — через Тогда относительную интенсивность принимаемого сигнала (отношение сигнал/шум) можно характеризовать величиной

При этом функция будет содержать величину множителем, например, в случае приема синусоидального сигнала (141.61) функция выразится формулой

Уравнение (124.3) показывает, что линейный оператор в этом случае также будет содержать 7 множителем. Поэтому, если выбрать функцию в виде (141.70), то оптимальный оператор системы обнаружения, а следовательно, и оценка сигнала будут пропорциональны 7. Например, в случае приема синусоидального сигнала с известной фазой, когда помеха является стационарным белым шумом, пользуясь для определения линейного

оператора формулой (127.3), получим для оптимального оператора системы обнаружения формулу

Пример 4. Определить оптимальную систему для обнаружения сигнала, представляющего собой известную функцию времени, но с неизвестным положением начала отсчета на оси времени, при условии, что помеха распределена нормально.

В данном случае, если, например, принимается синусоидальный сигнал (141.61), то его фаза 6 неизвестна и может с равными вероятностями принимать любые значения в пределах периода. Иными словами, фаза сигнала является случайной величиной, которую во многих случаях можно считать равномерно распределенной в пределах периода — В этом случае сигнал часто можно представить как линейную комбинацию двух функций, например

со случайными коэффициентами. Таким образом, наблюдаемую функцию и сигнал в этом случае можно выразить формулами

где известные функции, случайные величины. В простейшем случае приема нефлуктуирующего синусоидального сигнала, амплитуда которого может иметь только одно возможное значение, а фаза распределена равномерно, случайная точка с отличной от нуля вероятностью может попасть в начало координат и, кроме того, имеет равномерное распределение вдоль окружности единичного радиуса с центром в начале координат. В более общем случае приема флуктуирующего сигнала, интенсивность которого может иметь различные значения, случайная точка имеет смешанное распределение с сосредоточенной в начале координат отличной от нуля вероятностью. Поэтому в общем случае плотность вероятности случайного вектора выражается формулой

где имеют то же значение, что и в предыдущем примере.

Решение задачи изложенным методом сводится к нахождению линейных операторов путем решения соответствующих уравнений (124.3), вычислению величин и определению функции из условия минимума интеграла (141.22), который в данном случае на основании (141.79) принимает вид:

Дальше можно дословно повторить все рассуждения предыдущего примера, заменив интеграл (141.65) интегралом

и выражение (141.66) функции выражением

На основании формул (141.30) и (141.82) для оптимального оператора системы обнаружения получим следующее выражение:

Уравнение (141.68), определяющее с из условия равенства заданной величине а условной вероятности ложного обнаружения сигнала при его отсутствии, заменится уравнением

В случае приема нефлуктуирующего сигнала, интенсивность которого может иметь только одно определенное значение (например, синусоидального сигнала определенной амплитуды с равномерно распределенной фазой), случайные величины при наличии сигнала имеют равномерное распределение на единичной окружности и функция в первой формуле (141.79) имеет выражение

Подставляя это выражение в формулу (141.81) и производя замену переменных приведем (141.81) к виду:

Для исследования качества решения задачи обнаружения в случае слабых сигналов (т. е. малого значения 7) можно разложить функцию определяемую формулами (141.82) и (141.86), по степеням величин гц, в области их малых значений. Тогда получим:

где многоточием заменены члены выше второй степени. Таким образом, в случае приема сигнала с неизвестной фазой разложение функции начинается с членов второй степени относительно Из формулы (141.83) следует, что в этом случае оптимальная оценка сигнала пропорциональна квадрату величины у, характеризующей отношение сигнал/шум

Заметим, что при некоторых общих условиях симметрии, которые обычно соблюдаются в задачах практики, оценку сигнала, определяемую формулой (141.83), Ложно значительно упростить. А именно, при круговом распределении случайного вектора и при замена переменных приводит формулу (141.81) к виду:

где

Пользуясь формулой (33.43), можно привести формулу (141.88) к виду:

Эта формула показывает, что при рассматриваемых условиях симметрии функция зависит только от величины Если при этом интеграл (141.90) является монотонно возрастающей функцией величины то на основании изложенного функцию можно принять в виде:

При таком выборе функции оптимальная оценка сигнала значительно упрощается и оказывается пропорциональной первой степени величины характеризующей отношение сигнал/шум.

Результаты последних двух примеров показывают, что в случае обнаружения сигнала по критерию условного минимума вероятности ошибки при данной условной вероятности ложного обнаружения сигнала при его отсутствии в некоторых практически важных случаях нет необходимости знать вероятность наличия сигнала В этом заключается бесспорное преимущество этого критерия перед критериями, требующими знания вероятности так как в большинстве случаев практики эта вероятность бывает неизвестной.

Совершенно так же решается изложенным методом задача нахождения оптимального оператора системы обнаружения для случаев более сложной структуры сигнала, когда он может быть выражен в виде линейной комбинации нескольких известных функций со случайными коэффициентами.

Рекомендуем читателю сравнить результаты двух последних примеров с результатами примера 3 § 16, полученными для случая обнаружения дискретных сигналов.