ДОПОЛНЕНИЕ
1. Некоторые сведения из теории линейных преобразований
Линейные уравнения
которые могут быть записаны в сокращенной форме
устанавливают линейное преобразование
-мерного вектора
дающее в результате
-мерный вектор
Каждому данному
-мерному вектору
преобразование
приводит в соответствие определенный
-мерный вектор у. Поэтому можно сказать, что уравнения
устанавливают линейное преобразование
-мерного пространства.
Линейное преобразование полностью определяется матрицей коэффициентов
Поэтому преобразование
обычно записывают коротко в виде одного уравнения
Это уравнение следует читать так: линейное преобразование вектора х с матрицей коэффициентов А дает в результате вектор у.
Понятия
-мерного вектора и матрицы весьма сильно упрощают все выкладки, связанные с линейными преобразованиями. Однако для
этого необходимо изучить различные действия над матрицами. Это составляет предмет матричной алгебры. Мы ограничимся здесь лишь самыми необходимыми для достаточно полного изложения рассматриваемых в книге вопросов понятиями матричной алгебры.
Произведением матрицы А на число
называется матрица
элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на число
Подвергнем вектор у, полученный в результате линейного преобразования
вектора
некоторому другому линейному преобразованию с матрицей В. Это преобразование можно написать в обычном виде:
или в матричной форме:
Подставляя выражение (1.2) в (1.6), получим:
Вводя обозначение
можем переписать (1.8) в виде:
Таким образом, вектор
получается в результате линейного преобразования вектора с матрицей С, элементы которой определяются формулой (1.9). Подставляя формально выражение вектора у из
в
получим:
Но преобразование вектора
выражаемое уравнениями (1.10), можно записать в матричной форме следующим образом:
Сравнивая (1.11) и (1.12), можем написать формальное равенство
Это равенство дает основание назвать матрицу преобразования С, полученного в результате последовательного применения двух преобразований с матрицами
произведением матрицы А слева
на матрицу В. Таким образом определяется действие умножения матриц. Формула (1.9) выражает правило умножения матриц: для того чтобы найти элемент
произведения двух матриц
необходимо все элементы
строки матрицы В умножить на соответствующие элементы
столбца матрицы А и полученные произведения сложить.
Легко видеть, что в отличие от произведения двух чисел произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка, в котором берутся сомножители. В самом деле, применяя к вектору х преобразование
а потом к полученному результату преобразование
будем иметь:
причем элементы матрицы
определяются формулой
Из сравнения (1.9) и (1. 15) видно, что матрицы
в общем случае не совпадают. Иллюстрацией может служить преобразование прямоугольных декартовых координат в трехмерном пространстве, состоящее из двух последовательных поворотов на 90° вокруг осей х и у. Легко убедиться в том, что преобразование, состоящее из поворота на 90° вокруг оси х и последующего поворота на 90° вокруг нового положения оси у, и преобразование, состоящее из поворота на 90° вокруг оси у и последующего поворота на 90° вокруг оси
приводят к совершенно различным результатам.
Если в частном случае произведение двух матриц не зависит от порядка сомножителей, то эти матрицы называются перестановочными или коммутативными.
В теории линейных преобразований большую роль играют определители матриц. Определитель матрицы А мы будем обозначать символом
Вспоминая правило умножения определителей, видим, что формулы (1.9) и (1.15) дают элементы определителей, равных произведению определителей матриц
Следовательно, определитель произведения двух матриц равен произведению определителей сомножителей:
Применяя последовательно формулы (1.9) и
можно определить произведение любого количества матриц. При этом определитель произведения матриц всегда будет равен произведению определителей перемножаемых матриц.
Матрица, строки которой совпадают с соответствующими столбцами, а столбцы — с соответствующими строками матрицы А, называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается символом А:
Так как определитель не изменяется от замены его строк соответствующими столбцами, а столбцов — соответствующими строками, то матрицы
имеют один и тот же определитель
Решая уравнения (1.1) относительно
выразим составляющие вектора х через составляющие вектора
Раскладывая определитель в числителе по элементам
столбца, получим:
где
— алгебраическое дополнение элемента в определителе
Формула (1.20) выражает преобразование, обратное по отношению к преобразованию
[или, что то же, преобразованию
]. Матрица обратного преобразования называется обратной по отношению к матрице А и обозначается через
. Таким образом, преобразование
может быть записано в виде:
Элементы матрицы согласно (1. 20), выражаются формулой
Очевидно, что произведение матриц
не зависит от порядка сомножителей и равно единичной матрице т. е. матрице, все элементы главной диагонали которой равны единице, а все остальные элементы равны нулю:
Очевидно, что ортогональная матрица есть такая унитарная матрица, все элементы которой действительны. Таким образом, понятие унитарной матрицы является обобщением понятия ортогональной матрицы. Из формул (1.25) и (1.28) вытекают соотношения между элементами унитарной матрицы:
Каждое из этих соотношений достаточно для того, чтобы матрица А была унитарной. Поэтому каждое из соотношений (1.29) является следствием другого.
Обобщая понятие модуля или длины вектора на плоскости или в трехмерном пространстве обычно называют модулем или нормой
-мерного вектора х корень квадратный из суммы квадратов модулей его составляющих:
Унитарное преобразование сохраняет неизменным модуль вектора:
Действительно, на основании
и
имеем:
Это свойство унитарных преобразований является обобщением известного свойства поворота прямоугольной декартовой системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве.
Обобщая известное выражение скалярного произведения двух векторов в трехмерном пространстве через их составляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат, скалярным произведением двух
-мерных векторов
называют выражение
Очевидно, что скалярное произведение вектора на самого себя всегда равно квадрату его модуля:
Отметим еще следующие очевидные свойства скалярного произведения:
где
— произвольные комплексные числа,
Из (1.36) и (1.37) следует, что при любых
Эта формула показывает, что операция скалярного произведения линейна относительно каждого из сомножителей.