ДОПОЛНЕНИЕ

1. Некоторые сведения из теории линейных преобразований

Линейные уравнения

которые могут быть записаны в сокращенной форме

устанавливают линейное преобразование -мерного вектора дающее в результате -мерный вектор

Каждому данному -мерному вектору преобразование приводит в соответствие определенный -мерный вектор у. Поэтому можно сказать, что уравнения устанавливают линейное преобразование -мерного пространства.

Линейное преобразование полностью определяется матрицей коэффициентов

Поэтому преобразование обычно записывают коротко в виде одного уравнения

Это уравнение следует читать так: линейное преобразование вектора х с матрицей коэффициентов А дает в результате вектор у.

Понятия -мерного вектора и матрицы весьма сильно упрощают все выкладки, связанные с линейными преобразованиями. Однако для

этого необходимо изучить различные действия над матрицами. Это составляет предмет матричной алгебры. Мы ограничимся здесь лишь самыми необходимыми для достаточно полного изложения рассматриваемых в книге вопросов понятиями матричной алгебры.

Произведением матрицы А на число называется матрица элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на число

Подвергнем вектор у, полученный в результате линейного преобразования вектора некоторому другому линейному преобразованию с матрицей В. Это преобразование можно написать в обычном виде:

или в матричной форме:

Подставляя выражение (1.2) в (1.6), получим:

Вводя обозначение

можем переписать (1.8) в виде:

Таким образом, вектор получается в результате линейного преобразования вектора с матрицей С, элементы которой определяются формулой (1.9). Подставляя формально выражение вектора у из в получим:

Но преобразование вектора выражаемое уравнениями (1.10), можно записать в матричной форме следующим образом:

Сравнивая (1.11) и (1.12), можем написать формальное равенство

Это равенство дает основание назвать матрицу преобразования С, полученного в результате последовательного применения двух преобразований с матрицами произведением матрицы А слева

на матрицу В. Таким образом определяется действие умножения матриц. Формула (1.9) выражает правило умножения матриц: для того чтобы найти элемент произведения двух матриц необходимо все элементы строки матрицы В умножить на соответствующие элементы столбца матрицы А и полученные произведения сложить.

Легко видеть, что в отличие от произведения двух чисел произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка, в котором берутся сомножители. В самом деле, применяя к вектору х преобразование а потом к полученному результату преобразование будем иметь:

причем элементы матрицы определяются формулой

Из сравнения (1.9) и (1. 15) видно, что матрицы в общем случае не совпадают. Иллюстрацией может служить преобразование прямоугольных декартовых координат в трехмерном пространстве, состоящее из двух последовательных поворотов на 90° вокруг осей х и у. Легко убедиться в том, что преобразование, состоящее из поворота на 90° вокруг оси х и последующего поворота на 90° вокруг нового положения оси у, и преобразование, состоящее из поворота на 90° вокруг оси у и последующего поворота на 90° вокруг оси приводят к совершенно различным результатам.

Если в частном случае произведение двух матриц не зависит от порядка сомножителей, то эти матрицы называются перестановочными или коммутативными.

В теории линейных преобразований большую роль играют определители матриц. Определитель матрицы А мы будем обозначать символом

Вспоминая правило умножения определителей, видим, что формулы (1.9) и (1.15) дают элементы определителей, равных произведению определителей матриц Следовательно, определитель произведения двух матриц равен произведению определителей сомножителей:

Применяя последовательно формулы (1.9) и можно определить произведение любого количества матриц. При этом определитель произведения матриц всегда будет равен произведению определителей перемножаемых матриц.

Матрица, строки которой совпадают с соответствующими столбцами, а столбцы — с соответствующими строками матрицы А, называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается символом А:

Так как определитель не изменяется от замены его строк соответствующими столбцами, а столбцов — соответствующими строками, то матрицы имеют один и тот же определитель

Решая уравнения (1.1) относительно выразим составляющие вектора х через составляющие вектора

Раскладывая определитель в числителе по элементам столбца, получим:

где — алгебраическое дополнение элемента в определителе Формула (1.20) выражает преобразование, обратное по отношению к преобразованию [или, что то же, преобразованию ]. Матрица обратного преобразования называется обратной по отношению к матрице А и обозначается через . Таким образом, преобразование может быть записано в виде:

Элементы матрицы согласно (1. 20), выражаются формулой

Очевидно, что произведение матриц не зависит от порядка сомножителей и равно единичной матрице т. е. матрице, все элементы главной диагонали которой равны единице, а все остальные элементы равны нулю:

На основании и получаем следующие зависимости между элементами обратных по отношению друг к другу матриц:

Обозначая через величину, равную единице при равных друг другу индексах и равную нулю при не равных друг другу индексах можем записать равенства (1.24) в более компактной форме

Каждое из этих равенств достаточно для того, чтобы матрицы были обратными по отношению друг к другу. Поэтому каждое из равенств (1.25) является следствием другого. Если элементы двух матриц удовлетворяют одному из равенств (1.25) (при любых значениях индексов , то они удовлетворяют и другому равенству (при любых значениях индексов .

Если матрица, все элементы которой являются действительными числами, обладает тем свойством, что ее обратная матрица совпадает с ее транспонированной:

то матрица А называется ортогональной, а соответствующее линейное преобразование называется ортогональным. Примером ортогонального преобразования может служить произвольный поворот прямоугольной декартовой системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве. Из формул и вытекают следующие соотношения между элементами ортогональной матрицы:

Каждое из этих соотношений является достаточным для того, чтобы матрица А была ортогональной. Поэтому каждое из равенств является следствием другого. Равенства являются обобщением известных соотношений между направляющими косинусами осей одной прямоугольной декартовой системы координат относительно другой прямоугольной декартовой системы координат.

Матрица с комплексными элементами называется унитарной, если ее обратная матрица совпадает с ее транспонированной после замены всех элементов последней комплексными сопряженными величинами:

Очевидно, что ортогональная матрица есть такая унитарная матрица, все элементы которой действительны. Таким образом, понятие унитарной матрицы является обобщением понятия ортогональной матрицы. Из формул (1.25) и (1.28) вытекают соотношения между элементами унитарной матрицы:

Каждое из этих соотношений достаточно для того, чтобы матрица А была унитарной. Поэтому каждое из соотношений (1.29) является следствием другого.

Обобщая понятие модуля или длины вектора на плоскости или в трехмерном пространстве обычно называют модулем или нормой -мерного вектора х корень квадратный из суммы квадратов модулей его составляющих:

Унитарное преобразование сохраняет неизменным модуль вектора:

Действительно, на основании и имеем:

Это свойство унитарных преобразований является обобщением известного свойства поворота прямоугольной декартовой системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве.

Обобщая известное выражение скалярного произведения двух векторов в трехмерном пространстве через их составляющие по осям прямоугольной декартовой системы координат, скалярным произведением двух -мерных векторов называют выражение

Очевидно, что скалярное произведение вектора на самого себя всегда равно квадрату его модуля:

Отметим еще следующие очевидные свойства скалярного произведения:

где — произвольные комплексные числа,

Из (1.36) и (1.37) следует, что при любых

Эта формула показывает, что операция скалярного произведения линейна относительно каждого из сомножителей.