§ 86. Другие характеристики линейных систем

Импульсные возмущения не являются единственным видом элементарных возмущений, реакциями на которые можно характеризовать линейные системы. В соответствии с бесчисленным множеством способов разложения произвольных функций в ряды и интегральных представлений произвольных функций можно характеризовать

линейные системы их реакциями на различные виды элементарных возмущений. Каждая такая характеристика является полной характеристикой линейной системы, если любые возмущения можно выразить через соответствующие элементарные возмущения. Так как любые функции можно при весьма общих условиях представлять в виде ряда Фурье или интеграла Фурье, то в качестве характеристики линейной системы можно взять ее реакцию на гармонические колебания или на более общие элементарные возмущения, представляющие собой показательные функции времени Обычно в таком случае принято характеризовать линейную систему ее установившейся реакцией на показательное возмущение реакцией на показательное возмущение, действующее на систему бесконечно долго Характеристикой реакции линейной системы на показательное возмущение мы назовем отношение соответствующей выходной переменной этой системы к входному возмущению Совокупность характеристик реакции -мерной линейной системы, имеющей входов, на показательное возмущение является исчерпывающей характеристикой этой линейной системы. Выразив произвольные возмущения через показательные возмущения формулой вида (82.4):

применяя принцип суперпозиции и обозначая характеристику реакции системы на показательное возмущение, соответствующую выходу системы и входу, через выразим все выходные переменные линейной системы формулой

Значение характеристики реакции линейной системы на показательное возмущение при чисто мнимых значениях параметра X представляет собой реакцию линейной системы на гармонические колебания всех возможных частот и называется обычно частотной характеристикой линейной системы.

Так как реакция линейной системы на любое возмущение может быть выражена через весовые функции этой системы, то характеристика реакции линейной системы на показательное возмущение может быть выражена через соответствующую весовую функцию. Для того

чтобы найти выражение характеристики реакции линейной системы на показательное возмущение соответствующей выходу системы и входу, достаточно положить в формуле (85.5)

и принять во внимание, что этим возмущениям, согласно определению характеристики реакции линейной системы на показательное возмущение, соответствуют выражения выходных переменных системы

Тогда формула (85.5) даст:

Эта формула выражает характеристики реакции линейной системы на показательные возмущения через ее весовые функции. В частности, при формула (86.5) выражает частотные характеристики линейной системы через ее весовые функции. Формула (86.5) показывает, что в общем случае характеристика реакции линейной системы на показательные возмущения зависит как от времени так и от параметра показательной функции. Это обстоятельство приводит к тому, что характеристика реакции на показательные возмущения в общем случае не является удобной характеристикой линейной системы. Лишь в частном случае, когда линейная система стационарна, характеристики реакции системы на показательные возмущения, и в частности ее частотные характеристики, не зависят от времени и потому весьма удобны для приложений.

Формула (86.2) дает возможность выразить реакцию линейной системы на любое возмущение через ее характеристики реакции на показательное возмущение В частности, применяя формулу (86.2), можно определить реакцию линейной системы на единичный импульс, т. е. соответствующую весовую функцию этой системы. В § 9 мы видели, что -функция может быть представлена интегралом

Эта формула дает разложение единичного импульса на элементарные гармонические колебания. Полагая и сравнивая (86.6) с (86.1), видим, что в данном случае

а областью изменения параметра X является вся мнимая ось. При этом выходные переменные системы будут представлять собой весовые функции системы соответствующие входу. Следовательно, формула (86.2) даст:

Эта формула выражает весовые функции линейной системы через соответствующие частотные характеристики.

Характеристика линейной системы получает особенно простую форму в том случае, когда в качестве элементарных возмущений берутся инвариантные функции данной линейной системы, т. е. такие функции, которые при бесконечно долгом действии проходят через систему без изменения формы, умножаясь на соответствующие постоянные коэффициенты. Пусть семейство инвариантных функций одномерной линейной системы, зависящее от параметра X, который может быть в общем случае комплексной величиной, скалярной или векторной (т. е. совокупностью нескольких комплексных чисел). Согласно определению инвариантных функций при бесконечно долгом действии возмущения соответствующего данному значению параметра X, выходная переменная системы выразится формулой

где А — оператор системы, а зависящий от параметра X постоянный множитель, на который умножается возмущение при прохождении через рассматриваемую систему. Множитель на который умножается возмущение, имеющее вид инвариантной функции системы, при прохождении через систему в течение бесконечно большого времени, называется передаточной функцией линейной системы. Семейство инвариантных функций и передаточная функция линейной системы являются исчерпывающей характеристикой линейной системы, если любое действующее на систему возмущение может быть представлено в виде суммы конечного или бесконечного количества элементарных возмущений в виде инвариантных функций системы. То обстоятельство, что передаточная функция линейной системы зависит только от одного параметра X и не зависит от времени, дает существенное упрощение методов исследования линейных систем. В этом мы убедимся несколько позже.

Докажем, что инвариантные функции существуют для всякой одномерной линейной системы, поведение которой описывается дифференциальным уравнением вида (84.17). Для этого напишем уравнение (84.17) на основании (84.18) в развернутом виде:

Полагая в этом уравнении

получим следующее дифференциальное уравнение для определения инвариантных функций в случае

В случае получим для линейное дифференциальное уравнение порядка Всякое линейное дифференциальное уравнение имеет отличное от нуля решение. Следовательно, уравнение (86.12) определяет функцию при любом значении параметра X и при любой наперед заданной функции Следовательно, семейство инвариантных функций существует для любой линейной системы. Вопрос о том, насколько семейство инвариантных функций данной линейной системы и соответствующая этому семейству передаточная функция могут служить полной характеристикой системы, решается в зависимости от возможности приближенного представления произвольной функции времени в виде линейной комбинации инвариантных функций данной системы или интеграла от инвариантной функции по параметру

Так как реакция линейной системы на произвольное возмущение может быть выражена через ее весовую функцию, то и передаточная функция линейной системы может быть определена, если известна ее весовая функция. Для того чтобы найти выражение передаточной функции одномерной линейной системы через ее весовую функцию, подставим в формулу (83.3) выражения (86.11) входного возмущения и выходной величины при бесконечно долгом действии возмущения. Тогда получим:

Передаточные функции линейных систем очень удобны для исследования сложных линейных систем, составленных из одномерных линейных систем, имеющих общее семейство инвариантных функций. В этом случае передаточная функция сложной системы определяется простыми алгебраическими операциями над передаточными функциями элементарных систем, входящих в состав сложной системы.

Определение передаточной функции сложной линейной системы по известным передаточным функциям входящих в ее состав одномерных линейных систем, имеющих общее семейство инвариантных функций, основано на следующих свойствах передаточных функций.

При последовательном соединении линейных систем, имеющих общее семейство инвариантных функций, их передаточные функции перемножаются:

Это свойство является непосредственным следствием определения инвариантных функций и передаточных функций.

При параллельном соединении одномерных линейных систем, имеющих общее семейство инвариантных функций, их передаточные функции складываются:

Передаточная функция линейной системы, полученной в результате замыкания жесткой отрицательной обратной связью линейной системы, имеющей передаточную функцию определяется формулой

Для вывода этой формулы достаточно заметить, что после замыкания данной системы обратной связью на входе этой системы будет действовать возмущение и в результате выходная переменная будет равна При прохождении через первоначальную систему возмущение получает множитель Поэтому

Сокращая это уравнение на и решая его относительно мы и получим формулу (86.16).

Гибкая обратная связь всегда может быть заменена жесткой отрицательной обратной связью на основании перечисленных свойств передаточных функций.

Рис. 47.

Рис. 48.

Действительно, если в цепь обратной связи данной линейной системы, имеющей передаточную функцию включена линейная система, имеющая передаточную функцию (рис. 47), то на основании формулы (86.14) можно заменить полученную сложную систему последовательным соединением линейных систем с передаточными функциями с жесткой отрицательной обратной связью, охватывающей первые две системы (рис. 48). Для того чтобы уоедиться в этом, достаточно заметить,

что как входные возмущения системы с передаточной функцией в обеих системах, изображенных на рис. 47 и 48, так и выходные переменные обеих этих систем выражаются одними и теми же формулами через возмущение и передаточные функции и Жесткая положительная обратная связь может, очевидно, рассматриваться как гибкая отрицательная обратная связь, в которую включена линейная система с передаточной функцией, равной —1. Следовательно, положительная обратная связь может быть заменена отрицательной обратной связью при помощи структурного преобразования системы, изображенного на рис. 48, при

Перечисленные свойства передаточных функций линейных систем дают возможность весьма просто находить передаточные функции сложных систем, составленных из элементарных систем, имеющих одно и то же семейство инвариантных функций. Поэтому передаточные функции могут служить весьма удобной характеристикой линейных систем, если только удастся найти такое семейство инвариантных функций, которое будет общим для всех линейных систем, принадлежащих достаточно широкому классу. К сожалению, в настоящее время известен только один большой класс линейных систем, имеющих общее семейство инвариантных функций, а именно класс стационарных линейных систем. Поэтому простые алгебраические методы исследования линейных систем, основанные на перечисленных выше свойствах передаточных функций, в настоящее время могут быть применены только к стационарным линейным системам.

Понятия инвариантных функций и передаточных функций могут быть обобщены на многомерные линейные системы различными способами. Так, например, функцию можно назвать инвариантной функцией многомерной линейной системы, если при бесконечно долгом действии возмущения на любом входе системы все ее выходные переменные равны той же функции умноженной на некоторые постоянные коэффициенты, зависящие в общем случае от параметра X, которые будут передаточными функциями системы. Это определение удобно для того единственного пока класса линейных систем — стационарных линейных систем, к которому применимы методы исследования, основанные на использовании передаточных функций. Заметим, что в отличие от одномерных систем не всякая многомерная линейная система имеет инвариантные функции в том смысле, в котором они определены выше.