§ 77. Интегральное каноническое представление стационарной случайной функции. Спектральная плотность стационарной случайной функции

Ввиду того, что для стационарной случайной функции все значения независимой переменной равноправны (так как дисперсия ее не зависит от а корреляционная функция зависит только от интервала часто бывает удобным рассматривать ее в бесконечном интервале Поэтому целесообразно вывести из формул предыдущего параграфа предельные формулы при Напишем формулу (76.1) в виде:

где

— разность между двумя соседними значениями Рассмотрим функцию

Принимая во внимание формулу (76.2), находим:

Следовательно, формула (77.1) может быть переписана в виде:

Переходя в формулах (77.5) и (77.3) к пределу при получим

Величина равная на основании формулы , есть дисперсия случайной величины или, что одно и то же, дисперсия гармоники случайной функции . В пределе при со найдем, что величина есть дисперсия гармоники случайной функции, приходящейся на бесконечно малый интервал частот Следовательно, функция всегда положительна и характеризует среднюю интенсивность гармоник случайной функции X, соответствующих различным частотам Это обстоятельство служит основанием для того, чтобы функцию назвать спектральной плотностью стационарной случайной функции

Полагая в формуле и принимая во внимание (72.3), найдем:

Следовательно, спектральная плотность стационарной случайной функции всегда интегрируема, если ее дисперсия конечна. Функция

называется спектральной функцией или интегральным спектром стационарной случайной функции На основании формулы (77.8) спектральная функция существует при любом значении частоты Что касается спектральной плотности то она может при некоторых значениях со обращаться в бесконечность (оставаясь, конечно, интегрируемой в окрестности этих значений Если, например, спектральная плотность бесконечна при то в ее аналитическом выражении присутствует слагаемое вида При этом спектральная функция в точке изменяется скачком на величину Соответственно в выражении случайной функции фигурирует слагаемое причем дисперсия случайной величины V равна

Из определения (77.9) спектральной функции следует, что спектральная плотность стационарной случайной функции есть производная ее спектральной функции:

Пользуясь формулой (77.7), можно выразить спектральную функцию стационарной случайной функции через ее корреляционную функцию:

Формулы (77.6), (77.7) и (77.11) являются основными формулами теории стационарных случайных процессов. Формулы (77.6) и (77.7) показывают, что корреляционная функция и спектральная плотность стационарной случайной функции являются преобразованиями Фурье друг друга.

Формула (77.6), которую можно написать в виде:

дает интегральное каноническое представление корреляционной функции. Координатными функциями этого интегрального канонического представления являются показательные функции выражающие гармонические колебания всех возможных частот. Этому представлению корреляционной функции на основании изложенного в § 67 соответствует интегральное каноническое представление стационарной случайной функции

где белый шум переменной интенсивность которого равна спектральной плотности случайной функции

Так же как интегральное каноническое представление корреляционной функции (77.12) было получено предельным переходом при из ее канонического разложения (76.3), интегральное каноническое представление (77.13) стационарной случайной функции можно получить предельным переходом при из ее канонического разложения (76.4). Для этого перепишем формулу (76.4) в виде:

где

Переходя в формуле (77.14) к пределу при и рассматривая величины как значения некоторой случайной функции при получим интегральное каноническое представление (77.13) стационарной случайной функции в бесконечном интервале

Так как случайные величины не коррелированы и их математические ожидания равны нулю, то значения случайной функции при различных значениях частоты являются некоррелированными случайными величинами, а математическое ожидание случайной функции тождественно равно нулю. Формулы (77.4) и (77.15)

показывают, что величина является дисперсией случайной величины В пределе при получим, что функция есть дисперсия случайной функции Эти свойства случайной функции позволяют выразить ее корреляционную функцию в виде:

Эта формула показывает, что случайная функция представляет собой белый шум с интенсивностью

Интегральные канонические представления стационарной случайной функции и ее корреляционной функции (77.13) и (77.12) могут быть выведены и из общих формул § 67. Действительно,

и на основании (9.22)

и

Следовательно, при уравнениям (67.3), (67.6) и (67.12) удовлетворяют функции

если положить:

и если за области изменения аргументов принять бесконечные интервалы Подставляя выражение функции из (77.20) в формулы (56.4) и (56.5) и переходя к обычному обозначению циклической частоты, мы и получим интегральные канонические представления (77.13) и (77.12) стационарной случайной функции и ее корреляционной функции.

Подставляя выражение функции из (77.20) в формулу (67.1), получим выражение белого шума V через случайную функцию X:

Формула (57.13) на основании (77.20) и (77.21) может быть переписана в данном случае в виде:

Для действительной стационарной случайной функции на основании известных формул Эйлера формулы (77.6) и (77.7) могут быть написаны в виде:

Из формулы (77.25) следует, что спектральная плотность действительной стационарной случайной функции является четной функцией:

В силу четности корреляционной функции и спектральной плотности формулы (77.24) и (77.25) могут быть переписаны в виде:

Таким образом, для действительном стационарной случайной функции достаточно задать спектральную плотность в диапазоне положительных частот. Обычно спектральной плотностью действительной стационарной случайной функции называют функцию

Тогда формулы (77.27) и (77.28) заменяются формулами

Иногда вместо циклической частоты в формулы (77.30) и (77.31) вводят частоту колебаний выраженную в герцах. Так как

то формула (77.30) принимает вид:

В этом случае спектральной плотностью стационарной случайной функции обычно называют функцию

Тогда формулы (77.33) и (77.31) примут вид:

Все приведенные выражения спектральной плотности отличаются друг от друга лишь постоянными множителями, что равносильно изменению масштаба.

Так как для действительной стационарной случайной функции достаточно рассматривать только диапазон положительных частот, то спектральную функцию действительной стационарной случайной функции можно определить формулой

Подставляя сюда выражение (77.31) спектральной плотности, получим:

Аналогично можно определить спектральную функцию для спектральной плотности

Вместо спектральной плотности или часто вводят нормированную спектральную плотность стационарной случайной функции:

При помощи формул (77.39), (72.4) и (77.8) основные формулы теории стационарных случайных процессов (77.6) и (77.7) могут быть представлены в виде:

Точно так же формулы (77.30), (77.31) и (77.35), (77.36) справедливы и для нормированных корреляционной функции и спектральной плотности.

Совершенно так же, как выше было выведено интегральное каноническое представление стационарной случайной функции (77.13), можно для действительной стационарной случайной функции вывести интегральное каноническое представление, координатными функциями которого будут и при всех положительных значениях частоты Соответствующее интегральное каноническое представление корреляционной функции дает формула (77.30), в чем легко убедиться, применив к формулу косинуса разности.

Если X — стационарная случайная функция, эргодическая по отношению к корреляционной функции, то ее дисперсия выражается формулой (75.7) при Подставляя это выражение дисперсии в (77.8), получим:

Если функцию рассматривать как ток, то будет представлять собой мгновенную мощность, выделяемую этим током на единичном сопротивлении, а правая часть формулы (77.42) будет равна средней мощности тока. Таким образом, интеграл от спектральной плотности стационарной случайной функции X, эргодической по отношению к корреляционной функции, можно интерпретировать как среднюю мощность флуктуаций этой случайной функции, а величину как среднюю мощность гармоники частоты На основании этой физической интерпретации функцию часто называют спектральной плотностью мощности стационарной случайной функции

Рассмотрим случайную функцию

Математическое ожидание этой случайной функции тождественно равно нулю, а ее дисперсия выражается формулой

Эта формула выводится совершенно так же, как была выведена формула (74.4). Разделив формулу (77.44) на 27, переходя к пределу при и принимая во внимание (77.7), получим:

Эта формула может служить определением спектральной плотности. Из (77.43) легко выводится формула

где

Для стационарной случайной функции X, эргодической по отношению к корреляционной функции, случайная функция имеет пределом в среднем квадратическом корреляционную функцию На первый взгляд это дает основание сделать вывод, что из (77.46)

следует существование предела в среднем квадратическом случайной функции при равного вследствие (77.7) спектральной плотности Однако этот вывод ошибочен. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно вычислить дисперсию случайной функции для частного случая нормально распределенной действительной стационарной случайной функции Эта дисперсия стремится при а не к нулю [57].

Интегрируя формулу (77.46) по со в любых пределах получим формулу, в которой переход к пределу в среднем квадратическом будет возможен и даст в результате равенство

Таким образом, интеграл от случайной функции по любому интервалу частот имеет пределом в среднем квадратическом при интеграл от спектральной плотности по тому же интервалу частот (см., например, [23]. В частности, спектральная функция является пределом в среднем квадратическом при интеграла от случайной функции взятого в пределах При правая часть равенства (77.48), деленная на стремится к Однако в левой части равенства (77.48) такой переход к пределу при невозможен, так как из сравнения формул (77.43) и (77.22) следует, что случайная функция определяемая формулой (77.43) при представляет собой белый шум Вследствие этого подынтегральная функция в левой части равенства (77.48) на любом сколь угодно малом интервале частот в пределе при совершает бесконечное множество случайных колебаний.

Спектральная теория стационарных случайных функций была впервые разработана А. Я. Хинчиным [81]. Интегральное каноническое

представление стационарной случайной функции (77.13) было впервые получено А. Н. Колмогоровым [29]. Идея изложенного выше вывода основных формул теории стационарных случайных процессов путем предельного перехода из соответствующих канонических разложений принадлежит Е. В. Золотову, который вывел таким путем формулы (77.30) и (77.31) для действительной стационарной случайной функции.

Пример 1. Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции, спектральная плотность которой постоянна:

По формуле (77.6), принимая во внимание (9.22), находим:

Таким образом, стационарная случайная функция с постоянной спектральной плотностью представляет собой белый шум, интенсивность которого постоянна и равна Аналогия постоянной спектральной плотности и одинаковой интенсивности всех спектральных компонент в белом свете и лежит в основе термина <белый шум».

Пример 2. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции X, корреляционная функция которой выражается формулой (49.36).

Пользуясь формулой (77.7), находим:

После этого по формулам (77.29) и (77.34) находим спектральные плотности

Спектральные функции на основании (77.9) и (77.37) равны:

Формулы (77.51) и (49.36) показывают, что спектр рассматриваемой стационарной случайной функции расширяется с увеличением а, в то время как интервал корреляции, т. е. интервал изменения на котором корреляционная функция превышает данную малую величину уменьшается.

Положив получим в пределе при а постоянную спектральную плотность и интервал корреляции, равный нулю. Это является общей закономерностью. Чем быстрее убывает корреляционная функция стационарной случайной функции с ростом тем шире спектр этой случайной функции.

Пример 3. Найти корреляционную функцию действительной стационарной случайной функции, спектральная плотность которой постоянна в интервале частот и равна нулю вне этого интервала. По условию

Подставляя это выражение в формулу (77.30), получим:

В частном случае, когда формула (77.56) принимает вид:

Формула (77.57) подтверждает сделанный в предыдущем примере вывод, что, чем шире спектр стационарной случайной функции, тем быстрее убывает ее корреляционная функция с увеличением