§ 65. Способ получения приближенного канонического разложения случайной функции

В задачах практики иногда удается приближенно представить случайную функцию в виде линейной комбинации известных функций со случайными коэффициентами:

где случайные величины, а некоторые

известные функции. На основании формулы (19.13) математическое ожидание случайной функции X выражается приближенной формулой

Применяя способ § 21, можно выразить случайные величины а виде линейных комбинаций некоррелированных случайных величин имеющих равные нулю математические ожидания:

При этом коэффициенты и дисперсии случайных величин выразятся через корреляционные моменты величин формулами (21.2), (21.8) и (21.10). Подставляя в (65.1) выражения (65.3) величин перегруппировывая слагаемые и принимая во внимание (65.2), получим приближенное каноническое разложение случайной функции

координатные функции которого определяются формулами

Координатные функции определяемые формулами (65.5), в общем случае не совпадают с оптимальными координатными функциями, которые определяются формулой (57.5). Поэтому точность приближенного представления случайной функции X приближенным каноническим разложением (65.4) в общем случае будет ниже, чем точность ее представления таким же каноническим разложением с оптимальными координатными функциями. Однако оптимальные координатные функции часто бывает трудно определить в случае, когда удается выразить случайную функцию X приближенной формулой (65.1). Поэтому часто приходится пользоваться приближенным каноническим разложением (65.4) с отличными от оптимальных координатными функциями.

Легко доказать, что для того чтобы функции определяемые формулами (65.5), совпадали с оптимальными координатными функциями определяемыми формулой (57.5), необходимо и достаточно, чтобы все случайные величины были некоррелированными

с остаточным членом

Для доказательства заметим, что из (65.6) и (57.1) вытекает формула

Из этой формулы и формулы (57.5) следует, что функции совпадают с оптимальными координатными функциями тогда и только, тогда, когда

Вследствие формул (65.3) равенства (65.8) равноценны равенствам

Таким образом, необходимым и достаточным условием совпадения функций с оптимальными координатными функциями определяемыми формулой (57.5), является выполнение равенств (65.9), что и доказывает высказанное утверждение [60].

Изложенный способ получения приближенного канонического разложения случайной функции можно применить в тех случаях, когда удается с достаточной точностью выразить случайную функцию в виде линейной комбинации определенных функций со случайными коэффициентами, например в виде полинома или тригонометрического полинома со случайными коэффициентами.