ГЛАВА 11. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 72. Определение стационарной случайной функции

Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если ее математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов

где

Таким образом, корреляционная функция стационарной случайной функции одной переменной является функцией не двух, а одной переменной.

Случайная функция называется стационарной в узком смысле, если ее -мерный закон распределения при любом зависит только от интервалов и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента

Для корреляционной теории, оперирующей только математическими ожиданиями и корреляционными функциями случайных функций, имеет значение только стационарность случайной функции в широком смысле. Поэтому в дальнейшем, говоря о стационарных случайных функциях, мы всегда будем иметь в виду случайные функции, стационарные в широком смысле. В тех редких случаях, когда речь будет идти о стационарных в узком смысле случайных функциях, мы будем особо отмечать это обстоятельство.

Очевидно, что для нормально распределенных случайных функций понятия стационарности в широком и в узком смысле совпадают.

Дисперсия стационарной случайной функции согласно формулам (49.10), (72.1) и (72.2), равна:

Следовательно, дисперсия стационарной случайной функции постоянна и равна значению корреляционной функции в начале координат.

Вместо корреляционной функции стационарной случайной функции часто пользуются нормированной корреляционной функцией, которая на основании (49.16) определяется равенством

Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции представляет собой коэффициент корреляции ее значений, соответствующих значениям аргумента разность между которыми равна

Равенство (72.1) означает, что корреляционная функция стационарной случайной функции имеет одинаковые значения во всех точках прямой, параллельной биссектрисе координатного угла (рис. 28). Для действительной случайной функции это означает, что поверхность корреляционной функции представляет собой цилиндр, образующие которого параллельны биссектрисе координатного угла (рис. 29).

Рис. 28.

Рис. 29.

Такая поверхность вполне определяется своим сечением плоскостью или плоскостью т. е. кривой

На основании свойства симметрии корреляционной функции (51.1) можно написать:

или

Корреляционная функция действительной случайной функции действительна, и равенство (72.6) принимает вид:

Таким образом, корреляционная функция действительной стационарной случайной функции является четной функцией.

Неравенство (51.3) для стационарной случайной функции вследствие формулы (72.3) принимает вид:

Таким образом, значение корреляционной функции стационарной случайной функции нигде не превосходит по модулю ее значения в начале координат. Нормированная корреляционная функция на основании определения (72.4) не превосходит по модулю единицу.

В практических задачах нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции одного скалярного аргумента часто хорошо приближается формулой вида:

или суммой подобных выражений.

Из общей теоремы § 51 следует, что корреляционная функция непрерывной стационарной случайной функции непрерывна.

Во всех предыдущих формулах аргумент может быть как скалярной независимой переменной, так и совокупностью любого числа скалярных независимых переменных Соответственно этому под можно понимать как разность двух значений одной и той же скалярной независимой переменной, так и совокупность разностей значений переменных (разность -мерных векторов). Случайная функция переменных будет стационарной в широком смысле, если ее математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция является функцией разностей Теория стационарных случайных функций координат точки пространства в соответствии с принятой в физике терминологией обычно называется теорией однородных случайных полей. Рассмотрим производную стационарной случайной функции

Согласно общей формуле (53.3) математическое ожидание производной стационарной случайной функции тождественно равно нулю. Для определения корреляционной функции производной стационарной случайной функции подставим в формулу (53.8) выражение (72.1) корреляционной функции стационарной случайной функции. Тогда получим:

Отсюда видно, что производная стационарной случайной функции X является стационарной случайной функцией, причем ее корреляционная функция равна взятой с обратным знаком второй производной корреляционной функции случайной функции Рассмотрим теперь производную порядка стационарной случайной функции:

Применяя формулу (72.11) многократно, получим следующую формулу для корреляционной функции производной порядка стационарной случайной функции:

Таким образом, все производные стационарной случайной функции являются стационарными случайными функциями. На основании общей теоремы § 53 для существования производной порядка стационарной случайной функции необходимо и достаточно существование производной порядка 2/7 ее корреляционной функции.

Пример 1. Рассмотрим случайную функцию

где некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и с одинаковыми дисперсиями, равными Очевидно, что математическое ожидание случайной функции равно нулю. Для определения ее корреляционной функции заметим, что случайная функция является суммой двух некоррелированных элементарных случайных функций (§ 56) и, следовательно, формула (72.14) определяет ее каноническое разложение. Поэтому, согласно общей формуле (56.2), корреляционная функция рассматриваемой случайной функции равна:

Отсюда видно, что случайная функция стационарна в широком смысле. Для того чтобы определить, является ли случайная функция стационарной в узком смысле, необходимо задать закон распределения случайных величин Пусть - плотность вероятности случайных величин Для определения двумерной плотности вероятности случайной функции воспользуемся формулой (33.14). Формула (72.14) определяет как линейные функции случайных величин Следовательно, функции

и определяются в данном случае решением уравнений

относительно т. е.

Подставляя эти выражения в формулу (33.14) с заменой соответственно на получим для двумерной плотности вероятнсэсти случайной функции формулу

Эта формула показывает, что в общем случае двумерная плотность вероятности случайной функции зависит от обоих аргументов и поэтому случайная функция не является стационарной в узком смысле. Таким Образом, мы имеем пример случайной функции, стационарной в широком смысле и нестационарной в узком смысле. В частных случаях случайная функция может быть стационарной и в узком смысле. Так, например, если плотность вероятности случайных величин зависит только от

то случайная функция X стационарна в узком смысле. Действительно, формула (72.18) показывает, что в этом случае двумерная плотность вероятности случайной функции X зависит только от разности Для того чтобы убедиться в том, что -мерный закон распределения случайной функции X при любом зависит только от интервалов найдем -мерную характеристическую функцию случайной функции На основании формул (48.13) и (17.1) имеем:

Заменой переменных

интеграл в (72.20) приводится к виду:

Отсюда видно, что при любом характеристическая функция, а следовательно и закон распределения случайной функции X, зависит только от разностей — что и доказывает стационарность в узком смысле случайной функции X при выполнении условия (72.19). Можно доказать, что условие (72.19) является не только достаточным, но и необходимым условием стационарности в узком смысле случайной функции Если потребовать, чтобы случайные величины были не только не коррелированы, но и независимы, то необходимым и достаточным условием стационарности в узком смысле случайной функции X является нормальное распределение случайных величин

Пример 2. Случайная функция

стационарна (в широком смысле), если некоррелированные случайные величины с равными нулю математическими ожиданиями и

Корреляционная функция случайной функции в этом случае определяется формулой

Формула (72.23) определяет каноническое разложение случайной функции

Пример 3. Ступенчатая случайная функция примера 3 § 49 стационарна (в широком смысле), так как ее математическое ожидание равно нулю, а корреляционная функция, определяемая формулой (49.36), зависит только от разности аргументов.

Пример 4. Дробовой эффект, рассмотренный в примере 2 § 48 и в примере 2 § 49, стационарен (в широком смысле) в том случае, когда средняя плотность импульсов постоянна, а является функцией разности аргументов Для того чтобы убедиться в этом, достаточно произвести замену переменных в формулах (49.20) и (49.21) при