§ 97. Один тип интегральных канонических представлений входных случайных возмущений

Пусть весовые функции двух взаимно обратных физически возможных линейных систем. основании соотношений (83.12) и (83.13) и условия физической возможности (83.6) весовые функции удовлетворяют условиям

Сравнивая эти равенства с (67.12) и (67.6), видим, что функции

удовлетворяют уравнениям (67.6) и (67.12), если области представляют собой замкнутый интервал Таким образом, для нахождения интегрального канонического представления случайной функции времени в данном интервале достаточно найти такие весовые функции двух взаимно обратных линейных систем, для которых отношение интеграла

к функции не зависит от Тогда уравнение (67.3) также будет удовлетворено, если принять

Параметр X в данном случае представляет собой время, и формула (67.1) для белого шума V вследствие (83.6) примет вид:

Интегральное каноническое представление (56.4) случайной функции X примет вид:

Весовые функции легко находятся в случае, когда известно линейное дифференциальное уравнение, связывающее случайную функцию с белым шумом V:

Методы определения для этого случая изложены в § 84.

Весовые функции часто легко определяются для действительной стационарной случайной функции Так как спектральная плотность действительной стационарной случайной функции X представляет собой четную функцию , принимающую только положительные значения при действительных , то ее часто оказывается возможным представить в виде:

При этом вследствие того, что на основании принципа симметрии нули и полюсы спектральной плотности расположены симметрично относительно действительной оси плоскости переменной ([70], т. III, ч. 2, гл. I), функцию всегда можно выбрать так, чтобы она не имела нулей и полюсов в нижней полуплоскости. Если ограничиться случаем, когда спектральная плотность конечна и не обращается в нуль при действительных , что практически всегда имеет место, то функция не будет иметь нулей и полюсов и на действительной оси плоскости . А так как верхней полуплоскости переменной соответствует левая полуплоскость переменной то все нули и полюсы функции будут расположены в левой полуплоскости. Следовательно, функции и можно рассматривать как передаточные функции двух асимптотически устойчивых взаимно обратных стационарных линейных систем. Сравнивая формулу (97.8) с (92.10), приходим к выводу, что случайную функцию X можно рассматривать как результат преобразования белого шума с единичной спектральной плотностью стационарной линейной системой с передаточной функцией Таким образом,

представив спектральную плотность стационарной случайной функции X формулой (97.8), мы найдем передаточные функции двух взаимно обратных стационарных линейных систем, связывающих случайную функцию X с белым шумом. После этого можно по формуле (87.5) определить и весовые функции этих двух систем

На основание изложенного в § 92 формула (97.8) дает возможность представить стационарную случайную функцию X только как результат неограниченно долгого прохождения белого шума через стационарную линейную систему с передаточной функцией Поэтому в предыдущих формулах следует положить Таким образом, кенный метод дает интегральное каноническое представление стад; онарной случайной функции в любом полубесконечном интервале —

В некоторых случаях бывает удобно выразить случайную функцию X через белый шум, имеющий единичную интенсивность. На основании результатов примера 1 § 77 спектральная плотность белого шума, имеющего единичную интенсивность, равна

Поэтому для нахождения передаточных функций двух взаимно обратных линейных систем, связывающих стационарную случайную функцию X с белым шумом, интенсивность которого равна единице, необходимо выделить в формуле (97.8) множитель т. е. выразить спектральную плотность случайной функции X формулой

Спектральная плотность действительной стационарной случайной функции X особенно легко выражается формулой (97.8) или (97.9) в том случае, когда она является дробно-рациональной функцией . В этом случае она может быть представлена как отношение двух полиномов относительно с действительными коэффициентами. Нули этих полиномов, рассматриваемых как полиномы относительно , расположены симметрично как относительно действительной, так и относительно мнимой оси плоскости переменной . Разложив эти полиномы на простые множители и отобрав в каждом из них множители, соответствующие нулям, расположенным в верхней полуплоскости , можем выразить спектральную плотность случайной функции X формулой

где полиномы относительно , все нули каждого из которых расположены в верхней полуплоскости симметрично относительно мнимой оси. При этом нули каждого из полиномов и будут попарно сопряженными комплексными числами,

расположенными в левой полуплоскости переменной Следовательно, все коэффициенты полиномов положительны. Определив передаточную функцию формулой

приведем формулу (97.10) при действительных значениях со к виду (97.9). В этом случае, как легко видеть, случайная функция X связана с белым шумом V, имеющим единичную интенсивность, линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

Совершенно аналогично можно найти интегральное каноническое представление векторной случайной функции времени. Весовые функции двух взаимно обратных многомерных линейных систем на основании (85.12), (85.13) и (85.6) связаны соотношениями

Следовательно, функции

удовлетворяют уравнениям (71.13) и (71.14), если области представляют собой замкнутый интервал Если при этом функции

не зависят от то и уравнения (71.12) будут удовлетворены. Формула (71.10), определяющая некоррелированные белые шумы примет вид:

Интегральное каноническое представление (71.8) векторной случайной функции X примет вид:

В случае, когда известны линейные дифференциальные уравнения, связывающие векторную случайную функцию некоррелированными белыми шумами

весовые функции находятся методами, изложенными в § 85. Предоставляем читателю самостоятельно найги линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, связывающие -мерную стационарную векторную случайную функцию X с некоррелированными белыми шумами, в случае, когда спектральные и взаимные спектральные плотности составляющих векторной случайной функции X являются дробно-рациональными функциями .

Идея канонического представления случайной функции, координатными функциями которого служат значения весовой функции некоторой физически возможной линейной системы при фиксированных значениях второго аргумента, была, по-видимому, впервые высказана . Сотским.

Пример 1. Найти передаточную функцию стационарной линейной системы, связывающей с белым шумом стационарную случайную функцию X, корреляционная функция которой определяется формулой (49.36).

Формула (77.51), определяющая спектральную плотность случайной функции X, может быть представлена в виде:

Сравнивая эту формулу с (92.10), видим, что случайную функцию X можно рассматривать как результат неограниченно долгого прохождения белого шума с единичной интенсивностью (и, следовательно, со спектральной плотностью через стационарную линейную систему с передаточной функцией

Таким образом, рассматриваемая случайная функция X связана с белым шумом V, имеющим единичную интенсивность, дифференциальным уравнением

Пример 2. Найти стационарную линейную систему, связывающую с белым шумом стационарную случайную функцию X, спектральная плотность которой определяется формулой

Корреляционная функция случайной функции X, как легко проверить, пользуясь формулами (77.6) и (77.7), выражается формулой

Числитель выражения (97.23) спектральной плотности имеет два чисто мнимых корня а знаменатель имеет четыре корня расположенные симметрично относительно действительной и мнимой осей. Отобрав корни и расположенные в верхней полуплоскости, представим формулу (97.23) для действительных значений в виде:

Эта формула показывает, что случайную функцию X можно рассматривать как результат неограниченно долгого прохождения белого шума с единичной интенсивностью через стационарную линейную систему, передаточная функция которой выражается формулой (87.25) при Поведение этой системы описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами (87.24) при

Пример 3. Найти интегральное каноническое представление случайной функции X, корреляционная функция которой определяется формулой (54.30), при условии, что является монотонно возрастающей функцией, является монотонно убывающей функцией. Определим функции из уравнений (54.32):

На основании (84.42) и (84.44) функции

представляют собой весовые функции взаимно обратных физически возможных линейных систем и, следовательно, при любых и удовлетворяют

условиям (97.1) и (97.2). Так как вследствие (54.30) и (97.26)

то функции (97.27) и (97.28) удовлетворяют и уравнению (67.3), причем функция тождественно равна единице в интервале Для того чтобы проверить, можно ли принять равной единице и при вычислим правую часть формулы (88.16), имея в виду, что в данном случае В результате получим:

Сравнение этой формулы с (54.30) при показывает, что дисперсию случайной функции можно выразить формулой (88.16), принимая интенсивность белого шума тождественно равной единице, только в том случае, когда Таким образом, если функция обращается в нуль в некоторой точке в которой то изложенный метод дает интегральное каноническое представление случайной функции X в интервале (при любом координатные функдии которого определяются формулой (97.27). При этом интенсивность белого шума V будет тождественно равна единице.

Если то формула (88.16) будет выражать дисперсию случайной функции X в интервале если определить функцию формулой

Действительно, на основании эгой формулы и (97.30)

Следовательно, рассматриваемую случайную функцию X можно выразить интегральным каноническим представлением с координатными функциями (97.27) в любом интервале если определить интенсивность белого шума V формулой (97.31).