§ 58. Каноническое разложение случайной функции в дискретном ряде точек

Простейшим видом случайных величин, коррелированных с данной случайной функцией X и имеющих равные нулю математические ожидания, являются различные линейные комбинации значений центрированной случайной функции соответствующих различным значениям аргумента Поэтому естественно в качестве коэффициентов канонического разложения случайной функции X принять линейные комбинации значений центрированной случайной функции При этом сначала мы возьмем в качестве величин линейные комбинации значений центрированной случайной функции в дискретном ряде точек.

Зададим произвольную последовательность значений аргумента и определим случайные величины формулой

где — пока совершенно произвольные коэффициенты. Очевидно, что математические ожидания всех определенных таким образом случайных величин равны нулю. Пользуясь формулой (20.23) для корреляционного момента двух линейных функций случайных величин, вычислим корреляционные моменты случайных величин

или, принимая во внимание определение корреляционной функции (49.7),

Согласно условию (57.1) величины должны быть некоррелированными (при не равных друг другу значениях индексов Поэтому коэффициенты должны удовлетворять условиям:

Легко видеть, что коэффициенты удовлетворяющие условиям (58.4), всегда могут быть выбраны, и притом бесчисленным множеством способов, так как число уравнений (58.4) всегда меньше числа коэффициентов Действительно, некоррелированные случайные величины можно определить формулой (58.1) последовательно, применив следующий прием. Сначала определить случайную величину задав все коэффициенты произвольно. После этого определить коэффициенты так, чтобы случайная величина

была не коррелирована с Это условие является единственным условием, которому должны удовлетворять коэффициенты Поэтому все коэффициенты кроме одного, можно задать произвольно. И вообще коэффициенты необходимо определить так, чтобы случайная величина была не коррелирована с величинами Это дает возможность задать все коэффициенты кроме произвольно. Например, можно принять:

Тогда остальные коэффициенты последовательно определятся уравнениями (58.4). При выборе коэффициентов по формулам (58.5) формулы (58.1) упростятся и примут вид:

Подробнее об этом способе выбора случайных коэффициентов канонического разложения будет рассказано в следующем параграфе.

Выбрав каким-либо образом коэффициенты удовлетворяющие условиям (58.4), мы можем определить дисперсии случайных величин Для этого положим в Тогда получим:

Для определения координатных функций канонического разложения подставим выражение (58.1) в формулу (57.5). Тогда получим:

или

Пользуясь формулой (58.9), можно получить другое выражение для корреляционных моментов случайных величин Для этого перепишем формулу (58.3) в виде:

Но, согласно формуле (58.9),

Подставляя это выражение в (58.10), получим:

Пользуясь этой формулой вместо формулы (58.3), можем переписать уравнения (58.4) и формулу (58.7) в виде:

или, короче,

где равно нулю при не равных друг другу индексах и равно единице при одинаковых индексах.

Докажем теперь, что формула (57.2) при выборе коэффициентов и координатных функций по формулам (58.1) и (58.9) точно представляет случайную функцию во всех точках Для этого вычислим правую часть формулы (57.2) при пользуясь формулой (58.1). Тогда получим:

Вводя для краткости обозначение

получим:

Если мы теперь докажем, что (т. е. равно нулю при и равно единице при то тем самым мы докажем, что формула (57.2) точно представляет случайную функцию в точке что и требуется. Для определения величин умножим уравнение (58.14) при фиксированном значении на и просуммируем по всем значениям Тогда в левой части получим вследствие (58.16)

В правой части будем иметь:

так как при фиксированном значении только одно слагаемое суммы, для которого отлично от нуля. Таким образом, для определения коэффициентов получаем линейные алгебраические уравнения:

которые имеют очевидное решение:

Это решение единственное, так как линейные алгебраические уравнения имеют единственное решение, если независимы. Последнее обеспечивается условием независимости линейных комбинаций (58.1). На основании (58.21) формула (58.17) принимает вид:

что и доказывает справедливость формулы (57.2) во всех точках

Справедливость формулы (57.2) во всех точках может быть доказана значительно проще, если воспользоваться теорией линейных преобразований. Сравнивая формулу (58.14) с первой формулой (1.25) (Дополнение, I), мы видим, что формулу (58.14) можно привести к виду первой формулы (1.25), полагая

Но из справедливости первой формулы (1.25) всегда следует, что справедлива и вторая формула (1.25), которая вследствие (58.23) принимает в данном случае вид:

Из формул (58.15) и (58.24) непосредственно следует формула (58.22), доказывающая, что разложение (57.2) точно представляет случайную функцию во всех точках

Изложенное показывает, что, выбирая в качестве коэффициентов канонического разложения линейные комбинации центрированной случайной функции в дискретном ряде точек, мы получаем точное каноническое разложение случайной функции в этом дискретном ряде точек. При этом каноническое разложение случайной функции будет конечной суммой, если число точек конечно, и сходящимся в среднем квадратическом бесконечным рядом в случае бесконечного множества точек

Так как точки можно выбрать сколь угодно близкими друг к другу, то для непрерывной случайной функции формулу (57.2) можно сделать сколь угодно точной при любом значении в данной области. Больше того, можно выбрать последовательность значений так, чтобы в любой сколь угодно малой части области изменения аргумента находилось по крайней мере одно значение (иными словами, множество точек можно взять всюду плотным в области возможных значений аргумента Тогда для непрерывной случайной функции формула (57.2) будет точной при всех в рассматриваемой области.

Канонические разложения случайной функции в дискретном ряде точек удобны для исследования точности дискретных систем. Однако иногда бывает удобно пользоваться ими и для приближенного исследования точности непрерывных систем.