§ 136. Определение оптимального линейного оператора в особых случаях

Изложенный в предыдущем параграфе общий метод определения оптимального линейного оператора применим только в том случае, когда все функции могут быть представлены в области наблюдения разложением (135.17). Если некоторые из функций не могут быть представлены разложением (135.17), то соответствующие уравнения не имеют решения. В этом случае для определения оптимального линейного оператора, как было показано в § 124, необходимо найти соответствующее количество независимых решений однородного уравнения (124.15). Однако в § 124 не было доказано существование этих решений уравнения (124.15) и не было показано, как их можно найти. Пользуясь методом канонических разложений, мы сейчас докажем, что в случае, когда некоторые из функций не могут быть представлены разложением (135.17), уравнение (124.15) всегда имеет соответствующее число независимых решений, и найдем эти решения. Так как нумерация функций не имеет существенного значения и может быть установлена произвольно, то всегда можно предположить, что разложением (135.17) не могут быть представлены функции а первые функций представимы разложением (135.17). В частном случае, когда ни одна из функций не может быть представлена разложением (135.17), Положим:

Пользуясь методом определения линейных функционалов, удовлетворяющих вместе с заданными функциями условиям биортогональности, изложенным в § 63, можно найти линейные функционалы удовлетворяющие вместе с функциями условиям

Определим теперь другие линейные функционалы формулой

выбрав коэффициенты так, чтобы эти функционалы были ортогональны ко всем координатным функциям т. е. чтобы при всех были выполнены условия

Так как на основании (135.3)

то условие (136.4) дает:

Эта формула определяет все коэффициенты в формуле (136.3), Далее, на основании (136.1), (135.3) и (135.12) при любом

Вследствие (136.2) и (136.7) линейные функционалы определяемые формулой (136.3), удовлетворяют условиям

На основании формул (56.2) и (136.4)

С другой стороны, между функционалами не может существовать линейной зависимости вида

так как вследствие (136.8)

и поэтому равенство (136.10) может иметь место лишь в том случае, когда все коэффициенты равны нулю. Заметим далее, что вследствие зависимости области наблюдения от аргумента линейные функционалы и также в общем случае зависят от т. е. представляют собой но существу линейные операторы. Следовательно, и линейные функционалы определяемые формулой (136.3), представляют собой линейные операторы. Эти линейные операторы вследствие равенства (136.9) удовлетворяют однородному уравнению (124.15).

Эти операторы вследствие (135.1) и (136.4) преобразуют случайную функцию X в тождественный нуль, т. е. в случайную функцию с конечной (нулевой) дисперсией.

Таким образом, изложенный метод дает независимых линейных операторов удовлетворяющих однородному уравнению (124.15). Формула (136.3) дает разложение этих линейных операторов по функционалам аналогичное разложениям (135.13) и (135.14).

Подставляя в (136.8) выражение (136.1) функций и принимая во внимание (136.4), получим:

Из формул (124.18) и (136.12) следует, что операторы удовлетворяют условиям (124.21). Таким образом, в данном случае оптимальный линейный оператор определяется формулой (124.16), где определяются системой линейных алгебраических уравнений (124.22) или (124.24), а определяются соответственно формулой (124.23) или (124.25).

В частном случае, когда наблюдаемая случайная функция является скалярной функцией непрерывно изменяющегося аргумента линейные функционалы следует определить формулой, аналогичной (135.21):

Общее условие (136.2) дает следующие условия, которым должны удовлетворять функции

Формулы (136.3), (136.13) и (135.21) дают следующую формулу для линейных функционалов (операторов)

где

а коэффициенты определяются формулой (136.6), которая дает:

формулы (136.12) и (136.15) показывают, что весовые функции определяемые формулой (136.16), удовлетворяют условиям (125.6).

В случае, когда наблюдаемая случайная функция является -мерной векторной функцией непрерывно изменяющегося аргумента линейные функционалы следует определить формулой

Общее условие (136.2) дает следующие условия, которым должны удовлетворять векторные функции

где

Формулы (136.3), (136.18) и (135.27) дают для линейных функционалов (операторов) следующее выражение:

где

а коэффициенты определяются формулой (136.6), которая дает:

Формулы (136.12) и (136.21) показывают, что весовые функции определяемые формулой (136.22), удовлетворяют условиям (125.23).

Пример. Найти весовую функцию оптимальной линейной системы, предназначенной для воспроизведения сигнала

по результатам наблюдения суммы этого сигнала и некоррелированной с ним помехи:

Наблюдение производится в течение интервала времени длительности предшествующего данному моменту 5. Помеха выражается формулой

где и некоррелированные случайные величины, имеющие равные нулю математические ожидания и одинаковые дисперсии Величины о и 6 в формулах (136.24), (136.25) и (136.26) представляют собой известные постоянные.

В данном случае и

Формула (136.26) выражает помеху каноническим разложением, в котором координатные функции равны:

Поэтому для решения задачи методом канонических разложений достаточно найти соответствующие функции удовлетворяющие вместе с координатными функциями условию биортогональности

Легко проверить, что этому условию удовлетворяют функции

Подставляя эти выражения и выражения (136.27) функций в (134.14), получим:

и правая часть разложения (135.17) для функций оказывается равной соответственно

Таким образом, функция выражается разложением (135.17), а функция не может быть представлена таким разложением. Следовательно, согласно изложенной общей теории, в данном случае необходимо определить по формуле (136.1) функцию

После этого надо найти функцию удовлетворяющую единственному условию (136.14) (в данном случае и по формулам (135.16) и (136.17) определить весовую функцию соответствующую линейному оператору удовлетворяющему однородному уравнению (124.15). Легко видеть, что в качестве функции удовлетворяющей условию (136.14), можно взять постоянную . Тогда формулы (136.16) и (136.17) дадут:

Так как то весовая функция в данном случае равна нулю. Весовая функция на основании (134.13) равна:

Подставляя выражения (136.31) величин в формулу (135.20), находим величины

Теперь, согласно изложенному в §§ 124 и 125, для определения весовой функции оптимальной линейной системы остается найти коэффициенты в формуле (125.5). Для определения имеем в данном случае одно уравнение (124.22), которое имеет вид:

Решая это уравнение, находим:

После этого формулы (124.23), (124.9) и (136.27) дают:

Подставляя выражения (136.34), (136.35), (136.38) и (136.39) в (125.5), находим искомую весовую функцию оптимальной линейной системы:

Квадрат средней квадратической ошибки оптимальной линейной системы можно определить по формуле (124.31). Принимая во внимание, что в данном случае следует принять находим:

Данный пример, несмотря на то, что он является немного искусственным, иллюстрирует применение метода канонических разложений для определения оптимальной линейной системы в случае, когда некоторые (или все) функции не выражаются разложением по координатным функциям (135.17).