§ 123. Уравнения, определяющие оптимальное неоднородное линейное преобразование

Неоднородное линейное преобразование наблюдаемой случайной функции получается в результате прибавления произвольной (не случайной) функции к случайной функции, полученной преобразованием функции произвольным линейным оператором. Обозначим через линейный оператор и функцию, соответствующие оптимальному неоднородному линейному преобразованию, а через произвольные линейный оператор и функцию. Тогда оптимальный неоднородный линейный оператор А и произвольный неоднородный линейный оператор В определятся формулами

Подставляя эти выражения в (120.2), получим следующее уравнение для определения оптимального неоднородного линейного оператора:

Оператор и функция А должны удовлетворять уравнению (123.2) при любом линейном операторе и при любой функции Используя основное свойство линейных операторов, совершенно так же, как в предыдущем параграфе, приведем уравнение (123.2) к виду.

Это уравнение должно удовлетворяться для любой функции в частности для Полагая в и рассуждая

так же, как в предыдущем параграфе, получаем уравнение

Кроме этого уравнения, необходимо, чтобы оператор и функция удовлетворяли на границе области уравнениям, получаемым из (123.4) путем применения всех допустимых дифференциальных операций по переменной х. Используя (123.4) и принимая во внимание произвольность функции приводим уравнение (123.3) к виду:

Отсюда можно выразить функцию через оператор

Подставляя это выражение в уравнение (123.4) и пользуясь формулами (50.7) и (69,14), приведем уравнение (123.4) к виду:

Таким образом, необходимыми и достаточными условиями того, чтобы линейный оператор и функция определяли оптимальное неоднородное линейное преобразование, являются уравнение (123.7), уравнения, полученные из (123.7) путем применения всех допустимых дифференциальных операций по х при изменении х в замкнутой области и формула (123.6). Уравнение (123.7) с соответствующими ограничениями на допустимые дифференциальные операции и формула (123.6) полностью определяют оптимальное неоднородное линейное преобразование.

Легко видеть, что оптимальное неоднородное линейное преобразование дает несмещенную оценку сигнала Действительно, вследствие (123.6)

Этот факт ясен интуитивно. Возможность распоряжаться систематическим смещением позволяет определить линейный оператор из условия минимума дисперсии ошибки и после этого устранить систематическую ошибку соответствующим выбором

Если случайные функции выражаются формулами (122.9) и (122.10), где случайные функции и К не коррелированы со случайными величинами то корреляционные функции выражаются формулами (122.15) и (122.16), в которых моменты второго порядка случайных величин следует заменить их корреляционными моментами В результате уравнение (1237) сведется к той же системе уравнений (122.26), (122.27), которая была получена в предыдущем параграфе, но только величины с в этой системе следует понимать как элементы матрицы, обратной

по отношению к корреляционной матрице случайного вектора

Так как условие (121.14) получается из (120.2) для действительных скалярных функций и действительных операторов простым прибавлением неопределенного параметра к математическому ожиданию случайной функции то задача определения оптимального неоднородного линейного оператора по критерию экстремума данной функции математического ожидания и дисперсии ошибки сводится к тому же уравнению (123.7), после решения которого систематическое смещение А определится формулой

Таким образом, задача определения оптимального неоднородного линейного оператора по критерию минимума средней квадратической ошибки или по более общему критерию экстремума данной функции математического ожидания и дисперсии ошибки приводится к уравнениям того же типа (122.26) и (122.27), что и задача определения оптимального однородного линейного оператора.