§ 6. Повторение опытов

Предположим, что производится несколько опытов, в результате каждого из которых нас интересует появление события А. Будем называть опыты независимыми, если вероятность появления события А в каждом опыте не зависит от результатов других опытов. Это определение вполне согласуется с данным в § 4 определением независимости событий. Действительно, обозначая через появление события опыте, мы видим, что данное выше определение независимости опытов равноценно равенству вероятности появления события всем условным вероятностям события относительно произведений других событий

Пусть число независимых опытов равно причем вероятность события опыте равна Найдем вероятность того, что событие А появится раз. Вероятность появления события А в опытах с номерами и непоявления события А в остальных опытах по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна:

где для краткости положено

а любая перестановка чисел

Так как нам безразлично, в каких именно опытах появится событие А, а важно лишь, чтобы общее число появлений события А было равно то интересуюшая нас вероятность того, что событие А появится раз, равна сумме всех возможных различных произведений вида (6.1). Число таких произведений равно числу способов, которыми можно из элементов выбрать т. е. числу сочетаний из элементов по Легко видеть, что изложенный процесс вычисления вероятности в точности совпадает с процессом вычисления коэффициента при в разложении по степеням х произведения биномов

В обоих случаях необходимо составить все возможные произведения множителей множителей с различными индексами и взять сумму этих произведений. Следовательно, вероятность того, что при независимых опытах событие А появится раз, равна коэффициенту при в разложении по степеням х произведения биномов

Функция, коэффициенты разложения которой по степеням независимой переменной равны данным числам, обычно называется производящей функцией для данных чисел. Поэтому произведение биномов (6.3) является производящей функцией для вероятностей всех возможных чисел появлений события А при независимых опытах.

В частном случае, когда все опыты производятся в одинаковых условиях, вероятности равны друг другу: В этом случае производящая функция оказывается равной и для вычисления вероятностей можно применить известную формулу бинома Ньютона. В результате получим:

Найдем теперь вероятность того, что при независимых опытах событие А появится не меньше чем раз. Согласно принципу сложения вероятностей (3.1) искомая вероятность равна:

Очевидно, что если то искомую вероятность можно найти проще, вычислив предварительно вероятность противоположного события, т. е. вероятность того, что событие А появится меньше чем раз. Применяя принцип сложения вероятностей и формулу (3.3), найдем:

Легко видеть, что при значительно меньших, чем формула (6.6) значительно проще формулы (6.5).

Часто бывает необходимо вычислять вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз (т. е. не меньше чем один раз). Полагая в формуле находим:

В частности, если опыты производятся в одинаковых условиях, формула (6.7) принимает особенно простой вид:

Очевидно, что вычисление вероятности хотя бы одного появления события А по формуле (6.5) в случае больших весьма громоздко, в то время как вычисление по формуле (6.7) или (6.8) совершенно элементарно. В данном случае мы имеем пример, когда вычисление вероятности события, противоположного данному, значительно проще, чем вычисление вероятности данного события.