11.8. Восстановление дальности по игольчатой диаграмме

Некоторые методы машинного зрения, включая стереофотометрический, дают информацию о форме поверхности в виде игольчатой диаграммы, на которой ориентация поверхности задается для каждого элемента изображения. В некоторых случаях желательно представить форму поверхности по-другому. Часто цель заключается в получении карты дальности, дающей расстояние поверхности от некоторой координатной плоскости.

При данных значениях и частных производных по х и у, мы можем восстановить интегрируя ее вдоль произвольных кривых на плоскости:

На практике восстанавливаются по зашумленным данным несовершенными методами. Поэтому интеграл может зависеть от выбора пути. Действительно, интеграл по замкнутому контуру, как показано на рис. 11.12, может быть отличен от нуля. Так как известны и и мы реально имеем больше информации, чем нам необходимо. Это позволяет нам использовать метод наименьших квадратов, чтобы

Рис. 11.12. Возможность определения возвышения поверхности над некоторой координатной плоскостью интегрированием вдоль кривой на изображении (при известной ориентации поверхности). Для однолистной поверхности общее изменение возвышения при обходе по замкнутой кривой равно нулю, поэтому здесь необходимо условие совместности, т. е. равенство нулю интеграла градиента поверхности по замкнутым кривым.

найти поверхность, наилучшим образом соответствующую неидеальным оценкам градиента.

Мы можем, например, так выбрать чтобы минимизировать ошибку

где — заданные оценки компонент градиента, — частные производные поверхности наилучшего приближения. Это снова задача вариационного исчисления. Мы должны минимизировать интеграл вида

Уравнение Эйлера имеет вид поэтому из мы получаем или . Интуитивно это уравнение понятно, так как оно утверждает, что лапласиан искомой поверхности должен равняться что является выражением для лапласиана, основанным на данных измерения.

Как обычно, нам нужно также знать, что делать с границей области, вплоть до которой мы ищем решение. Условия трансверсальности (см. приложение) для интеграла вида

имеют вид . Здесь — длина дуги вдоль границы. Заметим, что является касательным вектором. В нашем случае мы получим или где вектор является нормалью к граничной кривой в точке Этот результат в высшей степени разумный, так как он утверждает, что нормальная производная искомой поверхности должна равняться оценке нормальной производной, полученной по данным измерений.

Для решения этого уравнения можно использовать итеративный метод. Он может основываться на дискретной аппроксимации уравнения или методе наименьших квадратов, используемом непосредственно для дискретной аппроксимации первоначального интеграла ошибок, что позволяет обойти применение вариационного исчисления.

Начальные значения можно получить с помощью некоторых простых схем, например интегрирования вдоль оси х для получения одного профиля, затем интегрирования вдоль у, начиная в каждой точке оси х. (Конечно, этот грубый метод сам по себе не способствует получению хорошей поверхности.)