6.6. Обобщенные функции и единичные импульсы

Единичный импульс не является функцией в традиционном смысле слова, поскольку ее нельзя определить заданием ее значений для всех х и у. Тем не менее если рассматривать как предел последовательности функций, то он допускает согласующуюся с традиционным представлением интерпретацию. Нам нужна функция, которая так зависит - от параметра, что при его стремлении к некоторому пределу ее свойства приближаются к тем, на основе которых определяется единичный импульс. Говорят, что такая последовательность определяет обобщенную функцию. Пример поможет прояснить эту идею.

Рассмотрим последовательность квадратных импульсов единичного объема:

Сечения трех функций этой последовательности имеют вид

Ясно, что

и далее, если ведет себя достаточно хорошо, то

Как легко видеть, разлагая функцию в ряд Тейлора в точке (0,0), последнее выражение равно просто . Кроме того, для всех . Таким образом, можно считать, что последовательность функций определяет единичный импульс. При вычислении интеграла, содержащего функцию мы можем заменить ее на а затем в конечном результате перейти к пределу при

Из приведенного вида последовательности мы заключаем, что можно представить в виде произведения двух одномерных единичных импульсов где одномерный импульс определяется следующим фильтрующим свойством:

для любой функции

Интеграл от одномерного единичного импульса представляет собой единичную ступенчатую функцию

И наоборот, единичный импульс можно рассматривать как производную единичной ступенчатой функции. Это легко усмотреть, если единичную функцию представить в виде предела последовательности , где

Откуда ясно, что

Следует подчеркнуть, что одну и ту же обобщенную функцию можно определить различными последовательностями. Например, можно рассмотреть последовательность функций Гаусса

Функции этой последовательности охватывают единичный объем, а стремится к нулю для всех точек при Перед последовательностью последовательность имеет то преимущество, что она всюду дифференцируема.

Чему равно преобразование Фурье единичного импульса? С одной стороны, мы имеем

в чем легко убедиться, подставляя в значения

на основе фильтрующего свойства единичного импульса. Мы можем также исходить из данного выше определения:

Отсюда следует, что система, функция рассеяния точки которой представляет собой единичный импульс, является тождественной, так как она не изменяет входного сигнала. Все частоты проходят сквозь нее с единичным коэффициентом усиления, и никакого сдвига по фазе не происходит, поскольку передаточная функция равна единице, т. е. выходной сигнал тождествен входному.