16.3. Гауссова кривизна

Выделим на поверхности объекта небольшую площадку 50 (рис. 16.5). Каждой точке этой площадки соответствует определенная точка сферического образа. Участок поверхности объекта отображается в участок сферического образа, площадь которого мы обозначим через Если поверхность объекта сильно искривлена, то нормали к точкам, принадлежащим выделенной площадке, охватывают широкий диапазон направлений. Соответствующие им точки сферы будут иметь сильный разброс. И наоборот, если поверхность плоская, то нормали в различных ее точках параллельны друг другу, и потому она отображается в одну точку.

Это предварительное замечание подсказывает удобное определение кривизны поверхности. Гауссова кривизна К определяется как предел отношения двух введенных нами площадей при их стремлении к нулю, т. е.

Из этого дифференциального соотношения можно получить две полезные интегральные формулы. Пусть сначала интегрирование производится по конечному участку О поверхности объекта, тогда

где — площадь соответствующего участка сферического образа. Выражение в левой части называется полной кривизной. Записанное

Рис. 16.5. Сферический образ участка поверхности, являющийся множеством образов точек этого участка.

Величина гауссовой кривизны равна отношению плошади участка на единичной сфере к плошади 60 участка на поверхности объекта. Она положительна, если направления обхода границ обоих участков совпадают, и отрицательна в противном случае.

Рис. 16.6. Участок, наклоненный по отношению к направлению наблюдения, сокращается в ракурсе. Отношение видимой площади к фактической равно косинусу угла между нормалью к поверхности и направлением в сторону наблюдателя

соотношение позволяет работать с поверхностями, имеющими разрывы в положении нормали.

Теперь рассмотрим интегрирование по участку на гауссовой сфере:

где О — площадь соответствующего участка поверхности объекта. Что касается этого соотношения, то оно наводит на мысль об использовании в расширенном сферическом образе величины, обратной гауссовой кривизне. Оно также показывает, что интеграл от по всему сферическому образу просто равен полной площади поверхности объекта.