16.7. Расширенный сферический образ тора

Теперь с помощью простых геометрических соображений мы построим расширенный сферический образ тора (рис. 16.10). Плоскость, содержащую ось тора, назовем осевой плоскостью. Она пересекает тор по двум окружностям. Точки каждой из этих окружностей отображаются на большой круг гауссовой сферы. Две окружности, являющиеся сечением тора одной и той же осевой плоскостью, переходят в один и тот же большой круг гауссовой сферы. Если выбрать другую осевую плоскость, то получим сечения, которые отобразятся в другой большой круг.

Определим полюса гауссовой сферы как точки пересечения поверхности сферы с осью, параллельной оси тора. Теперь заметим, что все большие круги, являющиеся образами сечений тора осевыми плоскостями, проходят через определенные таким способом полюса гауссовой сферы. Ввиду этого они являются меридианами, т. е. линиями постоянной долготы. Нетрудно также убедиться в том, что, за исключением полюсов, каждая точка гауссовой сферы соответствует ровно двум точкам тора.

Можно ожидать, что значения расширенного сферического образа будут возрастать по мере приближения к полюсам, поскольку меридианы в этих местах сходятся. Чтобы получить количественный результат, необходимо выделить на торе участки известной площади и посмотреть, какова будет площадь соответствующих участков гауссовой сферы. Рассмотрим две почти параллельные осевые плоскости

Рис. 16.10. Плоскости проходящая через ось, пересекает тор по двум окружностям.

Рис. 16.11. Две осевые плоскости вырезают на торе два противоположных кольца. Для проекции колец на гауссову сферу их можио сложить друг с другом. Комбинация почти эквивалентна части цилиндра.

(рис. 16.11). Они вырежут на торе два узких (диаметрально противоположных) кольца.

Эти кольца в свою очередь перейдут на гауссовой сфере в двуугольники. Каждый из двух двуугольников представляет собой дольку, вырезанную из поверхности сферы двумя плоскостями, содержащими ее ось и параллельными плоскостям, рассекающим тор (рис. 16.12, а). Ширина двуугольника изменяется в зависимости от широты. Вследствие этого прямое вычисление площади участка на гауссовой сфере, в который отображается одно из колец тора известной площади, оказывается затруднительным. Однако если два таких противоположных кольца тора сложить вместе, то получится цилиндрический пояс постоянной ширины, поскольку ширина исходных колец изменяется линейно с расстоянием до оси тора. Таким образом, общий вклад обоих колец тора на каждой широте гауссовой сферы оказывается одинаковым.

Соответствующий двуугольник на гауссовой сфере сужается при приближении к полюсу, в действительности его ширина пропорциональна , где — широта. Следовательно, участки фиксированной площади на торе по мере приближения их образов к полюсам отображаются во все более мелкие по площади участки гауссовой сферы. Отсюда мы заключаем, что расширенный сферический образ должен быть пропорционален Это можно показать и другим способом, на основе разбиения гауссовой сферы меридианами и параллелями (рис. 16.12, б). Каждая ячейка такого разбиения отвечает участкам одинаковой площади на торе. Если в каждую из ячеек поместить единичную

Рис. 16.12. Площадь гауссовой сферы, соответствующая колым тора, состоит из двух противоположных двуугольников. а — поскольку поверхность одной и той же площади отображается в определенный широтный пояс, значение расширенного сферического образа увеличивается с широтой; б — если в каждом элементе разбиения сферы меридианами и параллелями поместить единичную массу, то мы наглядно увидим зависимость плотности от секанса широты.

массу, то мы увидим, что из-за уменьшения размеров ячеек при приближении к полюсу плотность распределенной массы возрастает.

Теперь мы знаем, что расширенный сферический образ тора пропорционален секансу широты. Чтобы найти коэффициент пропорциональности, достаточно рассмотреть небольшой участок сферы, расположенный вблизи экватора, где Пусть протяженность участка по широте равна а по долготе — 5. Этому участку на гауссовой сфере соответствуют два участка тора общей площадью где — осевой, — меридиональный радиусы тора. Отсюда делаем вывод, что Иной путь определения коэффициента пропорциональности основан на учете того факта, что общая площадь тора, равная должна равняться интегралу от взятому по всей сфере.