13.4. Относительное ориентирование

Мы хотим связать между собой системы координат двух камер, однако при этом нам известны не сами точки а лишь их проекции на плоскость изображения. Зная фокусные расстояния обеих камер, мы можем определить отношения используя формулы для и аналогичные для . Можно рассматривать и как дополнительные переменные. Каждая пара соответствующих точек дает лишь одно добавочное ограничение (а не три). Казалось бы, двенадцать пар достаточны для нахождения двенадцати неизвестных. К сожалению, уравнения нелинейны, и поэтому их труднее решить, а решение может быть неоднозначным. Для данной пары точек имеем

Это три уравнения относительно четырнадцати неизвестных Каждая добавочная пара точек прибавляет три уравнения, но также вводит два новых неизвестных.

Заметим, что неизвестные и появляются только в отношениях. Поэтому масштабирование не изменит сути этих уравнений. Это означает, что если вектор смешения и расстояния для точки в левой и правой координатных системах являются решением, то вектор и расстояния также будут решением (при ).

Можно проиллюстрировать справедливость этого утверждения, если удвоить все расстояния (как вдоль базовой линии между центрами камер, так и между точками). При этом направления и углы не изменятся, и точки будут точно так же проектироваться на плоскость изображения.

Чтобы решение было единственным, необходимо дополнительное ограничение. Простейшим может быть ограничение

13.4.1. Условия ортогональности

Пока мы не пользовались условием, что матрица вращения должна быть ортогональной. Это дает шесть дополнительных условий. Если

даны пар точек, мы имеем неизвестных и ограничений. Решение возможно, если имеются пять пар точек, при условии, что уравнения независимы. Это так и будет, за исключением случаев неудачного выбора точек (например, если все точки лежат в одной плоскости).

Хотя теоретически интересно знать минимальное число пар точек, практически мы всегда используем больше пар. Причина этого в недостаточной точности отдельного измерения; имея совокупность измерений, можно повысить точность. Выбор совокупности пар точек, превышающей минимально необходимое их число, иногда позволяет избежать грубых ошибок. Если преобразование, вычисленное по точке, плохо находит оставшуюся точку, мы можем учесть параметры этой точки и уточнить преобразование.

Решение задачи относительной ориентации в явном виде не выписывается, зато известны многочисленные итерационные методы поиска решения, обеспечивающего минимум суммы квадратов ошибок.

13.4.2. Геометрическая интерпретация относительной ориентации

Еще раз обратимся к простой физической модели, которая поможет нам представить число налагаемых ограничений на две системы координат, если известно, что данный луч, выходящий из начала одной системы координат, пересекает некоторый луч, выходящий из начала другой.

Рассмотрим две декартовы системы координат, способные поворачиваться и перемешаться относительно друг друга. Проведем по одному лучу через начало каждой системы и будем поворачивать одну из них, пока лучи не пересекутся. Закрепим точку пересечения (рис. 13.6, а). Координатные системы пока еще сохраняют большую свободу движения.

Рис. 13.6. Усложнение ситуации, когда известны только направления на точки. В этом случае недостаточно даже трех измерений. Остаются три степени свободы, когда два набора лучей связаны с помощью подвижных колец.

Теперь повторим то же самое для второй пары лучей из каждой координатной системы (рис. 13.6, б). После этого остается возможность врашения относительно прямой, проходящей через две точки пересечения. Более того, начало любой системы можно перемещать по дуге окружности, которая проходит через эти две точки, поскольку угол, вписанный в окружность и опирающийся на отрезок, соединяющий эти две точки, при таком движении не меняется.

Таким образом, если мы фиксируем две точки, начало каждой системы может двигаться по тороидальной поверхности, образованной вращением соответствующего круга вокруг прямой, соединяющей эти две точки. Кстати, эти поверхности имеют как минимум две точки пересечения (по одной на каждом конце отрезка).

Даже для трех точек преобразование определено не полностью (рис. 13.6, в). При некотором положении камеры рассмотрим три луча и пересечем их произвольной плоскостью. Построим теперь три тороидальные поверхности на отрезках, образованных парами точек. Начало второй координатной системы будет лежать в точке пересечения трех поверхностей. Однако мы можем найти бесконечное число решений, выбирая различные плоскости пересечения. Здесь существует три степени свободы (две дает ориентация плоскости и одну — ее расстояние от начала координат). Еще труднее проследить, что получится, если мы добавим еще точки. Практически для четырех и более точек уже применяется метод наименьших квадратов.