8.4. Локальные операторы и шум

На практике введенные выше локальные операторы непосредственно не применяются в основном из-за того, что на результат их действия серьезно влияет зашумленность изображения. Шум, будучи независимым в различных элементах изображения, имеет плоский спектр. Как мы убедились при обсуждении вопросов обработки изображений, простые дифференциальные операторы значительно усиливают его высокочастотные компоненты. Края с низким контрастом просто теряются в таком шуме.

Мы можем использовать методы оптимальной фильтрации, изученные в гл. 6. Из сказанного там следует, что оптимальный фильтр для получения лапласиана изображения, например, может иметь следующий вид:

Чтобы Оценить энергетический спектр необходимо сделать некоторые предположения. Если изображение имеет плоский энергетический спектр, то что-либо сделать довольно трудно. Однако как указывалось в гл. 6, изображения, как правило, имеют спектр, который резко падает с увеличением частоты. Так, фурье-образ единичной ступенчатой функции, представленной на изображении, убывает пропорционально обратному значению частоты. Можно ожидать, что изображения, на которых области равномерной яркости разделены резкими краями, обладают аналогичными свойствами.

Допустим, что Тогда На малых частотах оптимальный фильтр ведет себя как лапласиан, но при этом он не так существенно усиливает высокие частоты. Верхняя граница усиления равна (с точностью до знака) отношению сигнал — шум.

Оптимальный фильтр можно разложить на два. Первый восстанавливает изображение наилучшим образом (в смысле метода наименьших квадратов). Это осуществляется путем умножения преобразования на Второй фильтр преобразует результат, полученный с помощью первого фильтра, в требуемый отклик. В рассматриваемом здесь случае это достигается применением лапласиана, т. е. умножением на — . Ясно, что изображение, содержащее мало информации на частотах выше некоторой частоты, сначала проходит низкочастотную фильтрацию в оптимальном фильтре. Если энергетический спектр на некоторой частоте имеет колоколообразный вид (максимум), то оптимальный фильтр будет иметь аналогичную форму вблизи этой частоты. Поскольку свертка ассоциативна, мы вправе применить этот фильтр и к дифференциальному оператору. Оптимальное приближение лапласиана представляет собой оператор с ненулевым пространственным носителем, так как оно получается применением лапласиана к оптимальному для данного изображения фильтру. Это означает, что оно нелокально. На практике область, внутри которой такой оператор существенно отличен от нуля, может быть весьма большой.

Если наша цель заключается в получении наилучшей оценки градиента изображения, то мы находим градиент исходного изображения, пропущенного через оптимальный фильтр. Это равнозначно взятию производных по х и у от функции рассеяния точки оптимального фильтра и непосредственному их использованию при свертке с обрабатываемым изображением.

Например, если оптимальный фильтр обрабатываемого изображения представляет собой функцию Гаусса

то функции рассеяния точки оптимальных фильтров для восстановления соответственно имеют вид

В отличие от рассмотренных выше локальных операторов эти операторы обладают значительно более протяженным носителем. В результате действие шума ослабляется, в то время как сигнал (разность

Рис. 8.3. (см. скан) Простой оператор выделения края, обеспечивающий нахождение разности между суммами уровней яркости, взятыми по двум прилегающим участкам довольно большой площади.

в яркости двух прилегающих областей) остается на том же уровне.

Отталкиваясь от этих интуитивных соображений, мы можем продвинуться вперед и предложить простой метод оценки разности в яркости поперек края (рис. 8.3). Допустим, что мы берем разность между средним арифметическим значений яркости по N пикселам с каждой стороны края. Среднее результата и есть разность в яркости.

Рис. 8.4. (см. скан) Предельный размер носителя оператора выделения края обусловлен расстоянием между особенностями изображения. Если размер слишком велик, то в область носителя будут попадать посторонние детали. В некоторых местах, напрнмер вблизи узловых точек изображения сцены, составленной из многогранников, носитель любой конечной площади будет приводить к включению нежелательных участков.

В то же время стандартное отклонение шумовой составляющей результата равно где - стандартное отклонение в каждом измерении. Таким образом, чем больше участки с каждой стороны края, тем меньше шум будет влиять на результат.

Однако если брать чересчур большие участки, то могут оказаться затронутыми другие области изображения (рис. 8.4). Тогда результаты обработки окажутся ошибочными в любом случае, кроме случая наличия на изображении лишь одного края.