7.2. Пространственная дискретизация изображения

Если изображение дискретизовано, его яркость известна только в дискретном множестве точек. Можно считать, что изображение представляет собой дискретную решетку импульсов

где и горизонтальный и вертикальный шаги решетки соответственно. Теперь преобразование Фурье принимает вид

Это — периодическая функция. По период равен величине а по и — величине Таким образом, дискретная функция преобразуется в периодическую. Последнее означает, что мы можем отбросить ту часть , для которой или Для восстановления функции она нам не нужна.

Интересно найти обратное преобразование функции, которая в указанной области совпадает с а всюду вне ее равна нулю:

Обратное преобразование имеет вид

Эта функция определена для всех х и у, но особый для нас интерес представляют ее значения в точках решетки Мы можем преобразовать ее к виду

При получаем. Между точками решетки интерполируется

с помощью ядра преобразования, равного произведению двух членов вида

Иной подход состоит в рассмотрении функции, получаемой умножением на пространственно-дискретизирующую функцию

Преобразование Фурье результата равно произведению на свертку фурье-образов . Последний равен -

так что преобразование Фурье произведения на является дискретизованным фурье-образом функции а именно