16.12. Комментарии к литературе
Гауссова сфера и стереографическая проекция описаны в книге [57]. В монографии [24] рассматриваются сферическое отображение и гауссова кривизна. Выпуклые многогранники являются предметом работ [49, 73].
Существует много учебников по дифференциальной геометрии, включая [83, 86]. Многогранники встречаются в работах [23, 33, 85, 88]. Работа [65] посвящена различным аспектам построения геодезических сетей. Интерес также представляют две монографии [109, 110).
Основополагающий результат, состоящий в том, что с точностью до сдвига выпуклый многогранник определяется площадями и ориентациями своих граней, принадлежит Минковскому [344]. Его обобщение на случай гладких поверхностей можно найти у Александрова [121]. Все же наиболее доступный источник сведений по этому вопросу на наш взгляд — второе издание книги Погорелова [86].
Хафман [269] использовал гауссову сферу и гауссову кривизну для изучения проблем, возникающих при фальцовке бумаги. Обобщение сферического образа, позволяющее включить в него информацию о кривизне поверхности, дано Хорном [127, 251]. Итог проделанной работы подведен в недавно вышедшем обзоре [255]. Смит [43] подошел вплотную к созданию алгоритма восстановления выпуклого
многогранника по заданным площадям и ориентациям его граней. Подобная же попытка удалась автору работы [273], хотя его метод практически неприменим. В работе [313] приведена остроумная итеративная схема, основанная на понятии смешанного объема, использованном еще Минковским в его первоначальном доказательстве. Смит [431] описал метод отождествления по моментам (он упоминается в гл. 18), который можно использовать, если полностью известен расширенный сферический образ.
Гистограмма ориентации использована Брауном [164] при изучении распределения направлений нейронных процессов. Не так давно нормали к поверхности были непосредственно использованы для определения ориентации объектов [133].
Расширенный сферический образ использовался для сегментации трехмерных объектов [181]. О его применении в задачах распознавания и определения углового положения объектов в пространстве говорится в работах [258, 273, 275]. В работах [162, 163] предложен метод равномерного расположения точек в пространстве поворотов (вопрос, о котором еще пойдет речь в гл. 18). Там же описана попытка обобщения основных методов на случай невыпуклых объектов. В работе [314] показано, что схемы сопоставления расширенных сферических образов, основанные на корреляционных методах, имеют серьезные недостатки; там же разработан новый подход, основанный на утверждении, что объем суммы объекта с самим собой, но имеющим иную ориентацию, всегда больше или равен объему суммы, полученной без изменения ориентации объекта. Этого вопроса мы коснемся в упр. 16.9. Между прочим, смешанные объемы представляют собой препятствия в конфигурационном пространстве и применяются при планировании пространственного движения робота [319].
Выпуклый объект, имеющий тот же расширенный сферический образ, что и тор, представляет собой тело вращения, образующей которого является кривая минимальной энергии. Явное уравнение для такой кривой было найдено Хорном в работе [253].
По аналогии с расширенным сферическим образом замкнутой поверхности можно ввести расширенный круговой образ замкнутой кривой на плоскости, о чем и идет речь в упр. 16.7. Автор работы [357] изобрел устройство для параллельного вычисления некоторого подобия расширенного кругового образа. Расширенный круговой образ и способ сглаживания кривых посредством фильтрации исследовались в работе [261]. В работе [465] введено избыточное сферическое представление, из которого легко получить расширенный круговой образ силуэта объекта.
Часто считают, что восстановление информации о форме объектов сильно упрощается благодаря устройствам определения дальности. Некоторые из проблем при использовании информации о дальности действительно становятся проще, а другие — сложнее.
Ориентацию поверхности можно оценить с помощью применения к дальнометрической информации конечно-разностных методов. Методы, представленные в этой главе, дают возможность проанализировать полученный результат. Информацию о схемах определения дальности и использовании получаемых с их помощью данных можно найти в работах [193, 286, 287, 369]. О последних исследованиях по интерпретации карт глубины см. работу [144].
Было предложено много других способов представления формы поверхности объекта. В работе [152] разработан геометрический метод, который особенно удобен при рассуждении об объектах в пространстве. Бинфорд [145] предложил использовать в машинном видении понятие обобщенного цилиндра. См. также работы [118, 365], посвященные описанию и распознаванию криволинейных объектов. В работах [330, 367] понятие обобщенного цилиндра было приспособлено для описания частей в иерархической схеме представления пространственной организации трехмерных структур. По этому поводу см. также работу [134].
Фриман придумал цепной код — способ кодирования дискретных плоских кривых [206]. Одна из наиболее ранних схем для описания двумерных форм приведена в работе [150]. В работе [241] предпринята попытка обобщения простой классификации участков двумерных плоских кривых на случай трехмерных поверхностей. Информация о близких к этой теме недавних исследованиях имеется в работе [124].
16.13. Упражнения
(см. скан)
