18.9. Ориентация в пространстве
Такая ориентация объекта определяется его поворотом в некоторой системе координат. Для определения ориентации объекта сопоставляется расширенный гауссов образ объекта с прототипическим расширенным гауссовым образом. Легче всего показать, как это делается, на примере тел вращения.
Тело вращения нормируется при вращении порождающей кривой вокруг оси. Ясно, что полученный объект будет симметричным относительно этой оси. Затем при заданном направлении оси полностью определяется ориентация объекта, хотя мы не можем узнать поворот тела относительно самой оси. Ось можно задать в виде единичного вектора или точки на сфере, что дает нам лишь две степени свободы. Ее также можно задать углом, образованным с плоскостью изображения (наклоном), и углом между проекцией изображения и некоторой фиксированной осью (азимутом).
Изображение тела вращения симметрично относительно проекции его оси. Следовательно, можно просто найти ось наименьшей инерции области изображения, соответствующей проекции объекта. Так можно зафиксировать одну степень свободы с помощью небольшого объема вычислений. Однако здесь мы должны прибегнуть к методам обработки бинарной информации, точность которых зависит от того, насколько хорошо был найден силуэт объекта. Лучше работать с информацией об ориентации объекта.
Можно попытаться разбить пространство возможных ориентаций оси на элементы и попытаться сопоставить расширенный гауссов образ с каждым элементом. Для эффективности желательно разбить это пространство равномерно. Более точное разбиение одной области по сравнению с другой неэффективно, и этого необходимо избегать. Это приводит нас к задаче «равномерного» размещения 
точек на поверхности полусферы. Мы ищем такое размещение, которое максимизирует минимальное расстояние между точками.
Эта проблема привлекла некоторое внимание. Известно, например, что лучшее размещение для 
и 20 получается при проектировании на сферу правильных тетраэдра, октаэдра и икосаэдра (рис. 18.8, а). Два других правильных многогранника (куб и додекаэдр) не приводят к оптимальному размещению. (Мы уже встречались с правильными многогранниками в гл. 16, когда обсуждали расширенный гауссов образ. Впрочем, там они использовались для других целей.)
Оказывается, что при 
комбинация додекаэдра и его двойника (икосаэдра) работает хорошо (рис. 18.8, б). К сожалению, не существует общего правила для оптимального варианта. Эта задача связана с задачей поиска «хорошего» мозаичного разбиения сферы для гистограммы
Рис. 18.8. (см. скан) а — полносмью равномерное разбиение сферы 20 точками, полученное при проектировании вершин икосаэдра на сферу; б - комбинация икосаэдра и двойственною ему додекаэдра, хорошо работающая в случае 32 точек (оптимальное размещение для большею числа точек неизвестно); в, г - вершины, двойственные геодезическим куполам (дуали), работают достаточно хорошо.
ориентаций. Там мы пришли к геодезическим «куполам» и двойственным им вершинам (дуалям). Здесь мы обнаруживаем, что разумного размещения можно достичь выбором центров треугольников в геодезических куполах или (что эквивалентно) с вершинами в их дуалях (рис. 18.8, в, г).
Нет необходимости выполнять детальное сопоставление для каждой из этих ориентаций оси объекта. В дальнейшем необходимо исследовать только те ориентации, для которых центр масс сопоставился достаточно хорошо. Это означает, что в действительности надо будет выполнить очень немного полных сопоставлений расширенных гауссовых образов. Ориентация оси, дающая лучшее сопоставление, считается истинной ориентацией оси тела вращения.
Другой подход заключается в определении оси минимальной инерции распределения масс на видимой полусфере расширенного гауссова образа. Проекция этой оси на плоскость изображения 1 дает нам ось симметрии изображения объекта. Это позволяет нам зафиксировать одну степень свободы (азимут) при помощи небольшого объема вычислений. Остается лишь найти наклон оси тела вращения. Таким образом, пространство поиска уменьшается с двух степеней свободы до одной. Заметим, что ось наименьшей инерции на самом деле легко вычисляется по игольчатой карте до того, как нормали проектируются на единичную сферу. Получить требуемые суммы для вычисления первых и вторых моментов не составляет труда. У этого метода то преимущество, что мозаичное разбиение сферы можно выравнять в соответствии с осью минимальной инерции до того, как нормали поверхности будут спроектированы на гауссову сферу.
