6.7. Множители сходимости и единичный импульс
Интеграл
не сходится. Причина в том, что колебания в подынтегральном выражении не затухают с увеличением и и 
Один из способов приписать осмысленное значение интегралу, несмотря на указанную трудность, состоит в умножении подынтегральной функции на множитель сходимости, который уменьшит ее значения для больших 
и 
(рис. 6.4). Множитель сходимости должен зависеть от параметра, причем
Рис. 6.4. Отсутствие сходимости у интеграла от синусоиды (сплошная линия). Однако если подынтегральное выражение умножить на гауссову функцию (штриховая линия), то мы получим функцию, которую можно проинтегрировать. Исходный интеграл можно рассматривать как предел интеграла с множителем сходимости, становящимся все более и более плоским.
таким образом, чтобы новый интеграл приближался к исходному при стремлении параметра к некоторому определенному пределу. Значение, приписываемое исходному интегралу, полагается равным пределу значений модифицированного интеграла при стремлении параметра к упомянутому пределу. Сформулированный метод станет ясен, если мы применим понятие множителя сходимости к интегралу, приведенному выше.
В этом случае удобным множителем сходимости является функция Г аусса
где 
— параметр, который будет изменяться. Заметим, что для любой конечной точки 
при 
Интеграл, который необходимо вычислить, имеет вид
Теперь
в то время как 
поскольку 
— нечетная функция от 
. Поэтому весь интеграл равен
Он стремится к нулю при 
если только 
Однако при 
результат не стремится к конечному пределу при 
Следовательно, интеграл
должен быть пропорционален единичному импульсу 
Но чему равен коэффициент пропорциональности? Поскольку
мы можем определить этот коэффициент, если вычислим
Двойной интеграл можно представить в виде произведения двух простых интегралов и получить выражение
Произведение не зависит от 
и окончательно мы имеем 
Этот результат мы уже использовали во время обсуждения преобрази вания Фурье.
