10.3. Формирование изображения

Теперь найдем отношение между яркостью точки на поверхности объекта (яркостью сцены) и освещенностью соответствующей точки на изображении (освещенностью изображения). Рассмотрим линзу диаметром на расстоянии от плоскости изображения (рис. 10.4). Пусть площадка поверхности объекта имеет площадь 50, а соответствующая

Рис. 10.4. Связь освещенности изображения с яркостью поверхности (I).

Для понимания этого необходимо определить размер области изображения, соответствующей площадке на поверхности.

площадка изображения — площадь Предположим, что луч, направленный от площадки объекта к центру линзы, образует угол а с оптической осью, а угол между этим лучом и нормалью к площадке равен 0. Площадка находится на расстоянии — от линзы вдоль оптической оси. (Знак минус появляется из-за того, что ось в нашей системе координат направлена к плоскости изображения.)

Отношение площадей площадок объекта и изображения определяется расстояниями от этих площадок до линзы и масштабными сокращениями, связанными с ориентацией. Лучи, проходящие через центр линзы, не преломляются. В результате этого телесный угол, образованный лучами, проведенными от площадки поверхности объекта, равен телесному углу, образованному лучами от изображения этой площадки. Кажущаяся площадь изображения, видимая из центра линзы, составляет , а расстояние от этой площадки до центра линзы . Таким образом, эта площадка стягивает телесный угол . Аналогично телесный угол площадки объекта, видимой из центра линзы, равен Приравнивая эти телесные углы, получим Теперь мы должны определить, какое количество света, излученного поверхностью, проходит через линзу (рис. 10.5). Телесный угол, образуемый линзой, наблюдаемой с площадки поверхности объекта, описывается формулой

Таким образом, мощность светового потока, испускаемого этой площадкой и проходящего через линзу, определяется выражением

где — яркость поверхности в направлении к линзе. Эта мощность собирается на изображении (если пренебречь потерями в линзе). Поскольку никакие другие лучи не попадаю! на эту площадку изображения, имеем

где Е — освещенность рассматриваемой площадки изображения. Заменяя , в итоге получим

Таким образом, освещенность плоскости изображения пропорциональна яркости сцены. Это основное соотношение, которым мы будем пользоваться при восстановлении информации об объектах по их изображениям.

Коэффициент пропорциональности в этой формуле содержит квадрат относительного отверстия а также множитель, убывающий как четвертая степень косинуса угла, образованного лучом, который направлен от точки изображения к центру линзы, и оптической осью. Это падение чувствительности не очень существенно, когда изображение располагается в пределах узкого угла, как в случае с телескопическими объективами. Более того, в типичных оптических системах диафрагмы, расположенные вдоль оптической оси, отсекают часть света для наклонных лучей. Этот эффект виньетирования, обсуждавшийся в гл. 2, часто приводит к более резкому падению яркости, чем множитель . Последовательно расположенные диафрагмы обычно вводят для минимизации искажений, которые в противном случае будут

Рис. 10.5. Связь освещенности изображения с яркостью поверхности (II). Для понимания этого необходимо определить часть света, излученного поверхностью, которая достигает линзы. Она зависит от телесного угла, опирающегося на линзу, если смотреть на нее со стороны излучающей поверхности.

увеличиваться пропорционально некоторой степени угла отклонения от оптической оси а. В любом случае зависимость чувствительности от угла отклонения от оси для данной оптической системы известна и ее можно учесть.

Подведем итоги: важно то, что измеряемая величина, т. е. освещенность плоскости изображения Е, пропорциональна интересующей нас неизвестной, а именно яркости сцены Другими словами, мы определили яркость сцены так, чтобы она соответствовала интуитивному понятию яркости, которая в конечном счете связана с освещенностью плоскости изображения.