П.6. Вариационное исчисление

Математический анализ учит тому, как находить экстремумы функций. Мы можем изменять один или несколько параметров некоторой функции. Решением является набор параметров, отвечающих экстремуму этой функции. Дифференцирование приводит к системе алгебраических уравнений, которая представляет собой необходимые условия экстремума.

В вариационном исчислении исследуются экстремумы выражений, зависящих не от параметров, а от функций. Такие выражения называются функционалами. Здесь уже необходимые условия представляют собой дифференциальные, а не алгебраические уравнения.

П.6.1. Задачи без ограничений

В качестве примера рассмотрим простой интеграл вида

Здесь зависит от неизвестной функции и ее производной . Предположим, что искомая кривая должна проходить через точки Пусть функция является решением вариационной задачи. Тогда мы можем ожидать, что малые вариации не повлияют сильно на величину интеграла.

Пусть — пробная функция. Мы ожидаем, что при добавлении функции в интеграл изменится на величину, пропорциональную (при малых ). Если бы он изменялся линейно с то таким образом его можно было бы увеличить или уменьшить, и поэтому это не было бы экстремумом. Точнее, мы хотим, чтобы

Это должно быть справедливо для всех пробных функций

В нашей конкретной задаче для удовлетворения граничным условиям мы должны положить Кроме того, если функция заменяется на , то ее производная . Интеграл принимает форму

Если достаточное число раз дифференцируема, то мы можем разложить подынтегральное выражение в ряд Тейлора

где содержит члены более высокого порядка малости по . Таким образом,

и дифференцирование по в с последующим приравниванием в нулю дает выражение

Интегрируя по частям, получим

где в силу граничных условий первый член равен нулю. Поэтому мы должны иметь выражение

Если оно справедливо для любых пробных функций то Это соотношение называется уравнением Эйлера для данной задачи.

Рассмотренный метод можно обобщить в нескольких направлениях. Во-первых, предположим, что граничные условия не заданы. Чтобы член равнялся нулю для всех возможных пробных функций необходимо ввести естественные граничные условия при

Во-вторых, подынтегральное выражение может содержать производные более высоких порядков:

В этом случае уравнение Эйлера принимает вид Таким образом, чтобы поставить задачу, мы должны задать граничные условия для всех производных, кроме последней.

Мы можем также рассмотреть случай, когда подынтегральная функция зависит не от одной, а от нескольких функций Иными словами,

При такой постановке задачи имеем столько уравнений Эйлера, сколько неизвестных функций

Наконец, исследуем случай, когда имеются две независимые переменные х и у и мы должны найти функцию обеспечивающую экстремум функционалу

Здесь — частные производные функции по х и у соответственно, а интегрирование производится по некоторой односвязной замкнутой области Мы вводим пробную функцию и добавляем Поскольку нам заданы значения на границе области, пробная функция на границе должна быть равна нулю. Разложение в ряд Тейлора дает выражение

где содержит члены более высокого порядка малости по Таким образом,

Дифференцирование по 8 с последующим приравниванием в нулю приводит к интегралу

Согласно интегральной теореме Гаусса,

поэтому

В соответствии с граничными условиями, член в правой части должен равняться нулю, в результате чего

Следовательно,

для всех пробных функций . Поэтому мы должны иметь Здесь уравнение Эйлера является уравнением в частных производных. Из приведенных выкладок мы сразу получаем обобщение на случай, когда значения на границе не заданы. Чтобы интеграл

равнялся нулю для всех пробных функций , мы должны иметь

где — изменяющийся вдоль границы параметр.

Переход к более чем двум независимым переменным также не составляет труда.

П.6.2. Вариационные задачи с ограничениями

В вариационном исчислении встречаются и задачи с ограничениями. Например, предположим, что нам необходимо найти экстремум функционала

с учетом ограничений при где Мы можем решить модифицированные уравнения Эйлера

при тех же ограничениях. В данном случае Неизвестные функции также называются .ино-жителями Лагранжа.

Ограничения, заданные в интегральной форме, рассматриваются аналогично. Пусть необходимо найти экстремум интеграла

при ограничениях

— заданные константы. Для этого нужно решить модифицированные уравнения Эйлера с учетом тех же ограничений. Здесь Неизвестные константы и в данном случае называются множителями Лагранжа.