17.2. Предварительные методические сведения

В этом разделе мы рассмотрим уравнения, описывающие связь между движением камеры и оптическим потоком, порождаемым этим движением. Мы можем предположить, что камера фиксирована в изменяющейся окружающей обстановке или движется в статичной окружающей обстановке. Пусть камера движется в статичной окружающей обстановке. Систему координат свяжем с камерой, так чтобы ось совпадала с оптической осью. Любое движение твердого тела раскладывается на две составляющие: мгновенное поступательное движение и мгновенное вращение вокруг оси, проходящей через начало координат. Обозначим поступательную составляющую движения камеры через а угловую скорость вращения — через . Обозначим текущие координаты точки Р окружающего мира через (Заметим,

что здесь для точек, лежащих перед экраном зрительной системы.)

Пусть — вектор-столбец где Т — знак транспонирования. Тогда скорость точки Р относительно системы координат будет иметь вид

Если мы определим компоненты векторов и со в виде то сможем переписать это уравнение в координатной форме: где точка означает дифференцирование по времени. Оптическим потоком в каждой точке плоскости изображения является мгновенная скорость яркостной картины в этой точке. Обозначим координаты точки на плоскости изображения через Здесь предполагается, что точка объекта Р переводится в соответствующую точку изображения путем центральной проекции; таким образом, координатами точки будут значения Оптический поток в точке обозначаемый через имеет вид Дифференцируя уравнения для х и у по времени и используя выражения для производных от получим следующие уравнения для оптического потока:

Мы можем записать эти уравнения в виде где — поступательная составляющая оптического потока, — вращательная, т. е.

Ниже мы будем рассматривать единственную точку Р. Для глобального определения оптического потока будем предполагать, что точкй Р лежит на поверхности, определяемой положительной для всех значений X и функцией Таким образом, для любого движения камеры и любой поверхности мы можем определить соответствующий оптический поток, и мы говорим, что поверхность и движение порождают оптический поток.

Таким образом, оптический поток зависит от шести параметров движения камеры и от поверхности, изображение которой анализируется. Можно ли однозначно восстановить все эти неизвестные, если известен лишь оптический поток? Строго говоря, ответ отрицательный. Чтобы показать это, рассмотрим поверхность являющуюся расширением поверхности в к раз. Предположим далее, что два движения имеют одинаковые вращательные составляющие, а их поступательные составляющие пропорциональны друг другу с тем же коэффициентом к. (Назовем такие движения подобными.)

Тогда оптические потоки, порожденные поверхностью и движением а также поверхностью и движением будут одними и теми же. Это вытекает непосредственно из определения оптического потока, приведенного выше.

Определение движения камеры по оптическому потоку сильна упрощается, если рассматривать чисто поступательное или чисто вращательное движение. Следующие два раздела будут посвящены рассмотрению этих двух частных случаев. Затем мы вернемся к случаю, когда не делается никаких априорных предположений о характере движения.