Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
17.3. Поступательное движениеВ этом разделе мы рассмотрим случай, когда движение камеры имеет чисто поступательный характер. Как и раньше, пусть 17.3.1. Подобные поверхности и подобные движенияМы хотим показать, что если два чисто поступательных движения порождают один и тот же оптический поток, то две поверхности и два движения камеры подобны. Пусть Исключая из этих уравнений Поскольку мы предположили, что Перепишем эти уравнения в виде отношения 17.3.2. Формулировка метода наименьших квадратовВообще говоря, направление оптического потока в двух точках изображения однозначно определяет чисто поступательное движение камеры. Однако неразумно было бы использовать столь малую часть имеющейся информации. Оптический поток, который мы измеряем, искажен шумом, и хотелось бы разработать помехоустойчивый метод, принимающий это во внимание. Поэтому мы предлагаем использовать метод наименьших квадратов для определения поверхности и параметров движения (точнее, их наилучшего приближения в смысле некоторой нормы). В дальнейшем будем предполагать, что плоскость изображения ограничена прямоугольником Зададимся целью минимизировать выражение
В этом случае мы определяем наименьшее отклонение в смысле нормы
Метод наименьших квадратов состоит из следующих шагов: вначале мы определяем величину Удобно определить
Переходим к первому шагу минимизации. Дифференцируя подынтегральное выражение по
Отсюда можно найти Это уравнение, между прочим, накладывает ограничение на
Предыдущий интеграл можно теперь переписать в виде
Ясно, что однородное масштабирование Прежде чем перейти ко второму шагу, дадим геометрическую интерпретацию сделанного до сих пор. Предположим, что заданы параметры движения На втором шаге мы дифференцируем интеграл по
Введем сокращение
тогда уравнения можно переписать в виде
Сумма первого интеграла, умноженного на 17.3.3. Использование других нормОднако существует способ такого использования метода наименьших квадратов, чтобы продемонстрировать явное решение для параметров движения. Вместо минимизации рассмотренного выше интеграла попытаемся минимизировать выражение
полученное из предыдущего умножением подынтегрального выражения на
То, что мы здесь получили, — это минимизация, при которой вклад ошибки является взвешенной величиной, причем больший вес приписан точкам, в которых оптический поток больше. Это весьма разумно в тех случаях, когда измерение больших скоростей происходит с большей точностью. Какая норма даст лучший результат, зависит от свойств шума в измеренном оптическом потоке. Первая норма лучше отражает ситуацию, когда ошибки измерения не зависят от величины оптического потока. Заметим еще, что, если мы хотим на самом деле вычислить минимум в смысле нормы Используем теперь наш метод наименьших квадратов для случая, когда в качестве нормы выбрана
откуда следует, что
Если мы обозначим этот интеграл через
Заметим, что функция
Очевидно, что эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы То, что действительно представляет для нас интерес, — это направление вектора ничную длину, то минимум функции
Существует явная формула для выражения наименьшего положительного корня через действительные и мнимые части корней квадратичной резольвенты кубического уравнения. В нашем случае это дает искомый наименьший корень, поскольку ни один из корней не может быть отрицательным. Для полноты ниже будут рассмотрены различные вырожденные случаи, хотя они и не представляют большого практического интереса. Заметим, что Невозможно, чтобы точно два собственных значения равнялись нулю, так как это означало бы, что коэффициент при первой степени X в полиноме равен нулю, а при квадрате случиться только при нулевом оптическом потоке. Скорость при этом тоже нулевая. Когда известно наименьшее собственное значение, можно непосредственно найти поступательную скорость, наилучшим образом соответствующую исходным данным. Для определения собственного вектора, соответствующего собственному значению
Так как
Заметим, что значение X! должно быть небольшим при хороших данных, и мы могли бы просто аппроксимировать точное решение, используя эти уравнения при Полученные результаты имеют простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим поверхность, заданную уравнением собственных значения различны, единичная сфера касается эллипсоида в двух точках, соответствующих наибольшей оси. Если же окажется, что два меньших собственных числа совпадают, единичная сфера касается эллипсоида вдоль окружности, в результате чего все скорости, лежащие в плоскости, образованной двумя собственными векторами, дают одинаково небольшую ошибку. И наконец, если все три собственных числа равны, выделенного направления для Случай, когда точно одно собственное значение равно нулю, также имеет простую геометрическую интерпретацию. Поверхность, определяемая уравнением Описанный метод можно легко использовать. Для этого необходимо перейти к дискретной формулировке задачи. Мы должны выписать выражение, аналогичное рассмотренному, заменив интегралы суммами. Наш метод минимизации затем можно применить к этим суммам. Результирующие уравнения подобны тем, которые были описаны в этом разделе, если интегрирование заменить суммированием. Мы можем использовать отношение наибольшего собственного значения к наименьшему (характеристическое число) как меру достоверности вычисленной скорости. Вычисленная скорость не чувствительна к ошибкам измерения, если характеристическое число много больше единицы. Тот же интеграл ошибок получится, если мы используем
Более того, мы можем получить похожее решение, умножая подынтегральное выражение на
Здесь скорость оптического потока для точек, которые больше удалены, имеет больший вес. Это условие наиболее благоприятно, когда измерение больших скоростей осушествляется с меньшей точностью. Мы приходим к квадратичной форме, аналогичной Могут использоваться и другие ограничения. Например, положив результат зависит от направления осей координат. Очевидно, в случае точных данных мы можем получить правильное решение, используя любое из трех упомянутых ограничений. I
|
1 |
Оглавление
|