12.5. Граничные условия

Говорят, что задача хорошо определена, если решение существует и оно единственно. Уравнения в частных производных обычно имеют бесконечное множество решений, пока не наложены соответствующие граничные условия. Следовательно, задача, приводящая к дифференциальным уравнениям в частных производных, хорошо определена, если заданы граничные условия, гарантирующие единственность решения. В случае линейных эллиптических уравнений в частных производных второго порядка, например уравнений Пуассона, задание значения функции на простой замкнутой кривой, ограничивающей интересующую нас область, является одним из способов добиться единственности решения. Другой возможностью является задание нормальной производной, т. е. производной неизвестной функции в направлении, перпендикулярном граничной кривой. Дифференциальные уравнения более высоких порядков обычно требуют добавочных ограничений, например задание значений и функции, и ее нормальной производной.

Используя вариационное исчисление, мы можем получить информацию о поведении решения на ранице или, наоборот, оставить границу свободной. Последний случай приводит к условиям трансверсальности (подробно см. в приложении). Можно показать, что при минимизации интеграла

условия трансверсальности имеют вид

, где — длина дуги вдоль граничной кривой. Пусть единичный вектор, перпендикулярный границе. Теперь мы можем переписать предыдущее условие в виде . В нашем случае , т. е. нормальные производные и должны равняться нулю.