7.3. Теорема отсчетов

Из сказанного выше видно, что функция с ограниченным частотным спектром полностью определяется отсчетами в узлах регулярной решетки. Этот результат известен как теорема отсчетов. Если при или то можно восстановить по набору значений где пробегают все целые числа. На самом деле мы даже располагаем явной интерполяционной формулой, не содержащей преобразования Фурье,

Этот результат имеет большое значение, поскольку он оправдывает пространственную дискретизацию изображения. В случае достаточно гладкой функции, точнее функции, частотный спектр которой ограничен, никакая информация при этом не теряется. Если встречаются лишь частоты, не превосходящие В, то интервал между отсчетами может достигать величины Другими словами, интервал между отсчетами должен быть меньше , где X — длина волны, соответствующая максимальной присутствующей в спектре частоте. Если 8 — интервал между отсчетами, то результат можно сформулировать в терминах частоты Найквиста Чтобы верно восстановить сигнал по отсчетам, он должен содержать частоты, не превосходящие частоты Найквиста. Из теоремы отсчетов становятся ясными те опасности, которые

подстерегают нас при применении обсуждаемого метода к функциям, не удовлетворяющим указанному ограничению. Информация теряется, и исходную функцию восстановить нельзя. Конкретно происходит следующее: при дискретизации высокие частоты становятся неотличимыми от частот, лежащих в допустимом диапазоне. Это выглядит так, будто эти частоты «загоняются назад» под отметку В. Иначе это называется эффектом наложения, поскольку гармоника с частотой порождает те же отсчеты, что и гармоника с частотой

Становятся также понятными преимущества дискретизации изображения с помощью датчиков, имеющих конечную площадь светочувствительной поверхности. Если чувствительный элемент обладает функцией отклика то еще до дискретизации изображение существенно размывается из-за свертки с Это эквивалентно умножению фурье-образов изображения и функции Эффект подобной сглаживающей операции будет состоять в подавлении высоких частот.

Например, предположим, что на прямоугольной решетке плотно упакованы прямоугольные датчики шириной и высотой т. е.

Тогда

Эта передаточная функция обращается в нуль при что вдвое превосходит максимальную частоту, допустимую теоремой отсчетов. Хотя такой фильтр пропускает некоторые высокие частоты, он по крайней мере подавляет значительную их часть. Чтобы улучшить эффект, необходимо, чтобы соседние элементы перекрывались, а чувствительность каждого элемента спадала по направлению к его краю. Другой способ достижения желаемого эффекта — включить в зрительную систему устройство, вызывающее размывание изображения, которое действовало бы как хороший низкочастотный фильтр. Тогда импульсная функция всей системы равна свертке импульсной функции оптического тракта с функцией отклика чувствительного элемента.

В идеальном случае расстояние между элементами должно согласовываться с разрешающей способностью оптического тракта. Если элементы расположить слишком далеко друг от друга, то условия теоремы отсчетов окажутся нарушенными. В то же время слишком плотная упаковка весьма дорога, поскольку лишние элементы не собирают никакой новой информации. Как оказалось, в зрительной системе человека сочетание между разрешающей способностью и шагом упаковки рецепторов подобрано весьма разумно — по крайней мере при средней величине раскрытия зрачка.

Конечно, после дискретизации фильтрация уже ни к чему хорошему

не приведет, поскольку ущерб уже причинен. Можно, конечно, подавить высокие частоты, лежащие в определенном диапазоне, однако значи-. тельная их часть в результате дискретизации уже оказалась смещенной в нижний диапазон частот. Восстановить потерянное невозможно.

Функции с ограниченным спектром являются «гладкими», поскольку их производные высокого порядка ограничены по амплитуде. Например, преобразованием Фурье функции является функция Поэтому если при или то Энергия сигналов дается формулами

Поэтому Это накладывает ограничение на скорость изменения функции

До сих пор мы предполагали, что отсчеты на изображении берутся в точках, находящихся в узлах прямоугольной решетки. Оказывается, другие схемы расположения отсчетов обладают определенными преимуществами. Например, мы можем использовать шестиугольные элементы изображения, лежащие на треугольной решетке. Если спектр изображения ограничен условием то при таком разбиении потребуется меньшее число отсчетов. Указанный срез по частоте, обладающий круговой симметрией, выглядит здесь более естественным, чем срез в виде прямоугольника, хорошо согласующийся с прямоугольным способом разбиения. Разница между двумя разбиениями возникает из-за различия между участками частотной области, которые можно восстановить без искажения. Для квадратного разбиения этот участок имеет форму квадрата. Чтобы в квадрат можно было вписать круг радиусом его стороны должны иметь длину . В случае гексагонального разбиения указанный участок имеет форму шестиугольника. Чтобы подобный же круг можно было вписать в шестиугольник, достаточно, чтобы размер максимального поперечного сечения был равен