9.7. Вычисление светлоты в дискретном случае

Чтобы использовать эти идеи к вычислению отражательной способности по яркости изображения, рассмотрим дискретные Шображения. Лапласиан можно оценить с помощью маски

Рис. 9.4. Улучшение отделения медленных флуктуаций светлоты от быстрых изменений отражательной способности поверхности за счет уменьшения размера элементов изображения. Однако не имеет смысла этот размер делать мельче допустимого собственной разрешающей способностью зрительной системы. Как здесь показано, дискретность вдвое увеличивает различие компонент изображения по сравнению с . С другой стороны, выбрав мы мало выиграем.

или чего-либо подобного. Применение его к дискретизированному изображению даст результаты, похожие на описанные выше, за исключением того, что величины около краев будут конечными.

Один из оставшихся вопросов — это насколько частыми должны быть точки отсчета на изображении. Пусть — расстояние между центрами элементов изображения. Гладкие флуктуации фона приводят к результатам, более или менее независимым от е. Однако возле края результат будет меняться как поскольку перепад яркости является конечным, а веса в маске изменяются как Отсюда следует, что, чем мельче участки, на которое разбито изображение, тем лучше полученные результаты, т. е. отношение сигнал — шум.

Однако реальные изображения имеют конечное разрешение, поэтому наступит такой момент, когда маска целиком будет попадать в гладкий переход на размытом крае. Дальнейшее уменьшение величины не улучшит результата вблизи края (рис. 9.4). Таким образом, наилучшие результаты получаются, когда разбиение соответствует разрешению изображения. Это согласуется с нашим более ранним анализом дискретизации изображения. С другой стороны, заметим, что наш оператор хорошо работает при вычислении лапласиана для гладко изменяющихся изображений, но занижает его значение вблизи края, пока разбиение не становится достаточно мелким для разрешения края.

Следующая задача заключается в построении оператора, который отменял бы усиление края, вводимое путем применения указанной выше маски. Мы могли бы сделать свертку промежуточного результата с дискретной аппроксимацией функции Однако должно

быть ясно, что дискретная аппроксимация оператора, обратного лапласиану, не будет точным обращением дискретной аппроксимации лапласиана. Нам необходимо найти дискретную функцию, которая порождает единичный импульс, будучи подвергнутой свертке с данной маской, т. е. такую функцию что . Эту свертку можно раскрыть в виде для и . Это система линейных уравнений с неизвестными Существует одно уравнение для каждой неизвестной. К сожалению, неизвестных бесконечное число и обычные методы непосредственно неприменимы.

Мы можем аппроксимировать ответ, взяв конечные размеры изображения, и следовательно, конечный носитель для дискретного обращения. Для получения разумной точности, мы могли бы взять большой размер изображения, и в этом случае подходящими были бы итеративные методы, такие, как метод Гаусса — Зейделя. Это равнозначно разрешению каждого из приведенных выше уравнений относительно главного члена для , где верхний индекс означает номер итерации. Для из правой части этой итеративной формулы вычитается константа, равная Начальные значения можно найти с использованием непрерывного решения в качестве приближения.

Промежуточный результат применения порогового оператора к изображению с усиленными краями подвергается свертке с этой дискретной аппроксимацией для получения окончательного результата. Промежуточный результат необходимо распространить до бесконечности, т. е. дополнить нулями. Заметим, что первоначальное изображение дополнять нулями нельзя, так как это приведет к появлению ложных краев на границе изображения.

Альтернативой для поиска обращения дискретной аппроксимации лапласиана является прямое решение уравнений где - промежуточный результат, прошедший пороговый оператор. Опять предлагается итеративный метод Как и раньше, необходимо быть аккуратными на границе изображения.