17.5. Общий случай

Теперь нам хотелось бы использовать метод наименьших квадратов для определения движения камеры по оптическому потоку без априорных предположений о характере движения. Ясно, что метод наименьших квадратов легче всего использовать при наличии линейных результирующих уравнений для всех параметров движения. К сожалению, не существует такой нормы, которая позволила бы нам достичь этого. Олнако существует норма, приводящая к уравнениям, линейным для некоторых значений неизвестных и квадратичным для остальных. Снова приступим к проблеме минимизации, используя норму при ограничении Полученные отсюда уравнения являются полиномами относительно и С, и их можно разрешить стандартными методами, например методом Ньютона или интерполяционной схемой на основе правила ложного положения (regula falsi). Выражение, которое мы хотим минимизировать, имеет вид

Первый шаг заключается в дифференцировании подынтегрального выражения по и приравнивании результата нулю, что дает

Мы вводим множитель Лагранжа X и пытаемся минкмизировать выражение

Уравнения, которые мы должны решить для определения параметров движения, получены дифференцированием:

Заметим, что три первых уравнения линейны относительно А, В и С, так что эти три параметра можно однозначно определить через и Используя это, мы можем определить и из четырех последних уравнений с привлечением численного метода. Это непосредственно подводит нас к итеративной схеме, и теперь мы можем перейти к дискретной постановке задачи и записать аналогичные уравнения, в которых интегрирование будет заменено суммированием соответствующих выражений.

Мы хотели развить метод определения движения камеры по оптическому потоку, пригодный для данных измерения, содержащих шум. Метод наименьших квадратов, предложенный в этой главе, достигает этой цели и пригоден для численного решения. В упражнении 17.11 показана возможность определения движения непосредственно по яркостной картине без вычисления оптического потока.